从而求得所有特征值的近似。
2 研究生学位课程 数值分析
特征根和特征向量的基本结论。
定理1 ：AR nn，1, …, n为A的特征值，则n
n
（1）A的迹数等于特征值之和，即tr( A) aii i
i 1
i 1
（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即
det( A) 12 n
定理2 设为AR nn的特征值且Ax=x，其中x不为0,则
（1）c为cA的特征值（c为常数且不为0); （2）-p为A-pI 的特征值，即(A-pI)x=(-p)x;
（3）k为Ak的特征值；
1
（4）
设A为非奇异阵，那么
A1x 1

x.
0
且
为
A 1
特征值，即

3
研究生学位课程 数值分析
第8章 矩阵特征值和特征向量的计算
很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如： 机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临 界值等。这些特征值的计算往往意义重大。
求解线性方程组的迭代法，重要一点是判断迭代法的收敛 性；判断方法之一就是看迭代矩阵的特征值的模是否都小于1。
1 研究生学位课程 数值分析
设A是单构矩阵, 即A有n个线性无关的特征向量.
A的n个特征值为 |1 >2 n
对应的特征向量为ξ1, ξ2,…,ξn 线性无关. 我们要求1 和ξ1.
幂法的基本思想是取初始非零向量x0Rn,作迭代
xk+1=Axk =Ak+1x(0) ,
产生迭代序列xk. 由于ξ1,ξ2,…ξn 线性无关, 从而有
n阶方阵A的特征值是特征方程
的根.
PA()=det(A-E)=0
A的特征向量是齐次线性方程组
(A-E)x=0
的非零解.
PA()是的高次的多项式，它的求根是很困难的。
设法通过数值方法是求它的根。
通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。
若要求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换， “收敛”到对角阵或上（下）三角阵，
k=0,1,2,…
x0 =β1ξ1+β2ξ2+…+βnξn (8.3)
5 研究生学位课程 数值分析
故有
xk = Akx0 =β 11kξ 1+β 22kξ 2+…+β nnkξ n
设|1>2n , 这时,上式可写成
xk
1k [11


2
(
2 1
)
k

2


11

i
(
i 1
)
k

i

i2
n
max( 11

i
(
i 1
)
k

i
)
lim
k
xk

11 max( 11 )

1 max( 1 )
i2
其收敛速度由比值|2/1|来确定. 又由于
mk max(yk ) max(Axk1) max(maxA(Ak xk01x0 )) n
max[ 11

i
(
i 1
)
k

i
]
所以
1
i2 n
lim
k
mk
1
max[ 11

i
(
i 1
)
k
1

i
]
i2
因此,当k充分大时可取: 1 mk , ξ1 xk.
8 研究生学位课程 数值分析
例8.1 设
4 14 0 A 5 13 0
1.Aitken 加速方法
由上式可知
lim mk1 1 2 0 k mk 1 1
yk Axk1

mk

max(
yk )
可得
xk

xk yk / mk ,
Ak x0 max(Ak x0 )
11

max( 11
k 1,2,3,
n

i
(
i 1
)
k

i
i2
n


i
(
i 1
)
k

i
)
研究生学位课程 数值分析
i2
7
所以
n
xk

Ak x0 max(Ak x0 )


n
(
n 1
)
k

n
]
若β 10, 则对充分大的k有
因而有
xk 1k 11 xk 1 1k 111 1 xk
1 (xk1 )i /(xk )i
i 1,2,, n
从而特征向量ξ 1 xk.
乘幂法的收敛速度取决于|2/1|的大小.
6 研究生学位课程 数值分析
1 0 2
用乘幂法求A的按模最大的特征值和相应特征向量.
解 取初值x0=y0=(1,1,1)T,计算得
k
mk
0
1
10
2
7.2
3
6.5
…
…
10 6.003352 11 6.001675
12 6.000837
xk
(1,1,1)T (1,0.8,0.1)T (1,0.75,-0.111)T (1,0.730769,-0.188034)T ………………….. (1,0.714405,-0.249579)T (1,0.714346,-0.249790)T (1,0.714316,-0.249895)T
在实际计算中,需要对计算结果进行规范化。因为当1〈1时，xk 趋于零，
当1 1时, xk的非零分量趋于无穷。从而计算时会出现下溢或上溢。
实际计算时，常把每一步计算的迭代向量xk规范化。 对非零向量x,用max(x)表示x的按绝对值最大的分量,称向量
y=x/max(x)为向量x的规范化向量. 例如, 设向量x=(2,1,-5,-1)T,则 max(x)=5,y=(0.4,0.2,-1,-0.2)T.可见规范化向量y总满足‖y‖=1. 幂法的规范化计算公式为: 任取初始向量x0=y0 0,计算
定义 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使 B P1 AP
则称A与B相似。
定理 若矩阵A, BR nn且相似，则
（1）A与B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。
4 研究生学位课程 数值分析
8.1 幂法和反幂法
8.1.1 幂法
幂法是用来求矩阵A按模最大的特征值和相应的特征向量的 方法.也称为主特征值和主特征向量。
可取 1 6.000837, ξ 1 (1,0.714316,-0.249895)T.
研究生学位课程 数值分析
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
实际 上,A 的3个 特征 值分 别为 1=6, 2=3, 3=2.
9
8.1.2 加速技术
由于
mk
max(
xk ) 1

o(
2 1
k
)
所以,乘幂法收敛速度取决于比值|2/1|,当|2/1|1时,收敛是很慢的.