大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩ 0()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间的每个m 1,在m 2的区间存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求W2。

解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n mm m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m au n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。

解：根据离散时间随机过程通过离散时间线性系统理论，有1221121212002122100()()()()[()]Y Xm m m mXm m R m Rm m m h m h m m m m m a m a σδ∞∞==∞∞--===-+=-+∑∑∑∑注：对比因果连续系统的输出过程与输入过程相关函数的关系12120()()()()Y X R R h h ττττττ∞∞=-+⎰⎰不妨设0m ≥，则只有当m 1m 时，求和区间存在脉冲点21m m m =-，因此1111111()211222211()()[]m m m Y X m m m m m X m mm mR m m m m a a a m a m m a σσ∞---=∞∞--===-=-∑∑∑令：1111211()m m m mm mx m am q∞∞-====∑∑，则1112(1){}{}1(1)m m m m m m d d q mq m q x q q q dq dq q q +∞=--=⨯=⨯=--∑ 令：111122211()m m m mm my ma mq ∞∞-====∑∑，则11112221223(1){}{}(1)(221)(21)(1)m m m m m m m m d d mq m q y q m q q dq dq q m q m m q m m qq +∞=++--=⨯=⨯----+-+=-∑2212221232124222323(221)(21)(1)()[](1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)m m m m m mY X m m mmX X m q m m q m m q m q m m q R m a q q m qm qa m a m a a q a σσσ+++++----+-+--=---+--+--==--考虑到相关函数的偶函数特性，得到：422||23(||1)(||1)()(1)m Y X a m a m R m aa σ-+--=-下面求功率谱密度函数，采用频域法。

-100220()() ()1{}{}1(1)()j nn j nn j n n n n j j n j n j j j n H j h n ena enp e p a d d pe ae p p e p dp dp pe pe a e ωωωωωωωωωω∞∞∞----===--∞----======⨯=⨯==---∑∑∑∑222222222222()|()|()()(|cos()sin()|)[12cos()]j X Y X X j X a ae G H j G a e a j aa a ωωσωωωσωωσω--===--+=+-可以通过相关函数的傅立叶变换进行验证。

典型双边序列的离散时间傅立叶变换对：2||||21 (||1)12cos()m m m a aa a a a ω∞--=-∞-↔=>+-∑ 222||22212(1)cos()4||12cos()[12cos()]m d a a a a m aa da a a a a ωωω-⎛⎫-+-↔-⨯=⎪+-+-⎝⎭ 242242422||||||23232324224222223222322222()()(||1)(||1)()||(1)(1)(1)()()2(1)cos()41(1)[12cos()](1)12cos()[12cos()]m m m X X Y X X X X a a a a a m a m R m am a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a σσσσσωωωσω----++--==+----++--↔+-+--+-=+-33．序列X(n)和Y(n)满足差分方程()()()Y n X n a X n a =+--其中a 为整常数，试用X(n)的相关函数表示Y(n)的相关函数。

解：1212112212121212(,)[()()]{[()()][()()]}(,)(,)(,)(,)Y X X X X R n n E Y n Y n E X n a X n a X n a X n a R n a n a R n a n a R n a n a R n a n a ==+--+--=++--+-+-+--当X(n)为平稳随机过程时，则Y(n)也为平稳的，且有()2()(2)(2)Y X X X R m R m R m a R m a =---+34．实值一阶自回归过程X(n)满足差分方程1()(1)()X n a X n V n +-=其中a 1为常数，V(n)为方差为2的白噪声，输入从n=0开始，(1)0X -=。

(1)证明：若V(n)均值非零，则X(n)非平稳；(2)证明：若V(n)均值为零、|a 1|<1，则当n 足够大时，2221[()]/(1)V E X n a σ=-；(3)若V(n)均值为零，|a 1|<1，求X(n)的自相关函数的平稳解。

证：(1) 采用Wold 分解方法211123111111100()()(1)()(1)(2)()(1)(2)(3)...()()()(1)()()nnmn m m m X n V n a X n V n a V n a X n V n a V n a V n a X n a V n m a X a V n m +===--=--+-=--+---==--+--=--∑∑1111001[1()][()][()()]()1n nnmmV V m m m a E X n E a V n m a m a +==--=--=-=+∑∑ 显然，若V(n)均值非零，则X(n)的均值函数不是一个常数，是非平稳的。

(2) 若V(n)均值为零，则X(n)的均值为常数0，则210[()][()][()()]nm m E X n Var X n Var a V n m ===--∑根据相互独立随机变量的和的方差等于方差之和的性质，得到2211022(1)2211201[()][()()]()[()][1]()1nnmm m m n nm V V m E X n Var a V n m a Var V n m aa aσσ==+==--=---==-∑∑∑显然，若输入从n=0开始，则即使在V(n)均值为零的情况下，方差也不为常数，X(n)是非平稳的，当|a 1|<1且n 足够大时，渐近平稳，2221[()]1V E X n aσ=-。

(3) 不妨假设时刻差m0，则根据Wold 分解得到121212121212111201112002111200(,)[()()]{[()()][()()]}()()[()()]()()()n mnm m X m m n mnm m m m n mnm m V m m R n m n E X n m X n E a V n m m a V n m a a E V n m m V n m a a m m m σδ+==+==+==+=+=-+---=--+--=---+∑∑∑∑∑∑根据求和区间的脉冲点21m m m =-的存在条件：1n m m m +≥≥，得到：11111()222111122(1)211121(,)()()()()[1]()1n mn mm m m m mX V V m mm mm n mV R n m n a a a aa a a a σσσ++--==+-+=--=--=--∑∑当n 足够大时，输出过程是渐近平稳的，自相关函数的平稳解为：2121()()1mV X a R m a σ-=-35．考察如下的二阶自回归过程X(n)12()(1)(2)()X n a X n a X n V n =----+(1)若已知随机过程的相关函数值(0)X R 、(1)X R 、(2)X R ，试写出用于计算系数a 1,a 2以及零均值白色噪声()V n 的方差2V σ的Yule-Walker 方程；(2)反过来，若已知a 1= -1,a 2=0.5, 20.5V σ=，求(0)X R 、(1)X R 、(2)X R 的值；(3)求相关函数的通解。