高中数学必修一、必修四、必修五知识点一、知识点梳理必修一第一单元1.集合定义:一组对象的全体形成一个集合.2.特征:确定性、互异性、无序性.3.表示法:列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、韦恩图、语言描述法{不是直角三角形的三角形}4.常用的数集:自然数集N 、整数集Z 、有理数集Q 、实数集R 、正整数集N *.5.集合的分类:(1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合(3) 空集φ 不含任何元素的集合 例:{x|x 2=-5}5.关系:属于∈、不属于∉、包含于⊆(或⊂)、真包含于、集合相等=.6.集合的运算(1)交集:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合;表示为:B A ⋂数学表达式:{}B x A x x B A ∈∈=⋂且 性质:A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂,,(2)并集:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合;表示为:B A ⋃数学表达式:{}B x A x x B A ∈∈=⋃或 性质:A B B A A A A A A ⋃=⋃=Φ⋃=⋃,,(3)补集:已知全集I ,集合I A ⊆,由所有属于I 且不属于A 的元素组成的集合。
表示:A C I 数学表达式:{}A x I x x A C I ∉∈=且 方法:韦恩示意图, 数轴分析.注意:① 区别∈与、与⊆、a 与{a}、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}; ② A ⊆B 时,A 有两种情况:A =φ与A ≠φ.③若集合A 中有n )(N n ∈个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为n2,所有真子集的个数是n2-1, 所有非空真子集的个数是22-n。
④空集是指不含任何元素的集合。
}0{、φ和}{φ的区别;0与三者间的关系。
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
条件为B A ⊆,在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。
⑤符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现 点与直线(面)的关系 ;符号“,⊄”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。
8.函数的定义:设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作y =f (x ),x ∈A ,其中x 叫做自变量.x 的取值围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域.①.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.②.求函数的值域的方法 : 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法9.两个函数的相等:当且仅当两个函数的定义域和对应法则(与表示自变量和函数值的字母无关)都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.10.映射的定义:一般地,设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么,这样的对应(包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的映射,记作f:A→B.由映射和函数的定义可知,函数是一类特殊的映射,它要求A、B非空且皆为数集.11.函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法12.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:○1任取x1,x2∈D,且x1<x2;○2作差f(x1)-f(x2);○3变形(通常是因式分解和配方);○4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);○5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).(B)图象法(从图象上看升降)注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8.函数的奇偶性(整体性质)(1)偶函数一般地,对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.(2).奇函数一般地,对于函数f(x)的定义域的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.(3)具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.利用定义判断函数奇偶性的步骤:○1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .9、函数的解析表达式(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)○1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○2 利用图象求函数的最大(小)值 ○3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,在区间[b ,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递减,在区间[b ,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b);13.一些有用的结论:(1)奇函数在其对称区间上的单调性相同; (2)偶函数在其对称区间上的单调性相反; (3)若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)0f =15. 复合函数(1).复合函数:若y=f(u),u=g(x),x ∈(a,b),u ∈(m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值围是g(x)的值域。
(2).复合函数的定义域:若已知()f x 的定义域[],a b ,其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出 (3).复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性: ①若f 与g 的单调性相同,则[])(x g f 为增函数; ②若f 与g 的单调性相反,则[])(x g f 为减函数。
简记为“同增异减” 注意:先求定义域,单调区间是定义域的子集。
6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.必修一第二单元1.根式的概念:一般地,如果a x n=,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *.当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示.式子n a 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0). 由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n . 结论:当n 是奇数时,a a n n = 当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n2.分数指数幂 规定:)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnmnm0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂. 3.有理指数幂的运算性质 (1)r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>;(3)srra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>.一般地,无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.4.一般地,函数)1a ,0a (a y x≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R .5.指数函数的性质图象特征函数性质1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +函数图象都过定点(0,1) 1a 0=自左向右看, 图象逐渐上升自左向右看, 图象逐渐下降增函数减函数6.对数的概念:一般地,如果N a x=)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○2 x N N a a x =⇔=log ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:○1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 7.对数式与指数式的互化:x N a =log ⇔ N a x = 8.对数的性质(1)负数和零没有对数; (2)1的对数是零:01log =a ; (3)底数的对数是1:1log =a a ;(4)对数恒等式:N aNa =log ;(5)n a na =log .9.如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:(1)M a (log ·=)N M a log +N a log ; (2)=NMalog M a log -N a log ; (3)na M log n =M a log )(R n ∈.10.换底公式abb c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).(1)b mnb a na m log log =; (2)a b b a log 1log =.11.对数函数的概念1.定义:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数。