等差数列
知识梳理
1.定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式：
*
11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a
推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m
n a a d m
n --=；
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2
b
a A +=
或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式：
1()2n n n a a s +=
1(1)2n n na d -=+211
()22
d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法
（1）定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． （3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。

（4）数列{}n a 是等差数列⇔2
n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。

6．等差数列的证明方法
定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*
∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．
7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。

只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

8.等差数列的性质：
（1）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

（2）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列 （公差为md ）
图示：
m
m
m m
m m
S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++
（4）若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n
n
A f n
B =， 则
21
21
(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值
法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，n S 取最大值（或最小值）。

若S p = S q 则其对称轴为2
p q
n += 法二：①“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
即当，，001<>d a 由⎩⎨⎧≤≥+00
1
n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值．
②“首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。

即 当，，001><d a 由⎩⎨⎧≥≤+0
1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值．
或求{}n a 中正负分界项
（7）设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项的和，n S 是前n 项的和，则： 1.当项数为偶数n 2时，=-奇偶S S d n ，其中n 为总项数的一半，d 为公差； 2、在等差数列{}n a 中，若共有奇数项12+n 项，则
121111(1)(21)1n n n n n S n a S S S n a S n S na S S a S n +++++⎧=+⎧=+=++⎪⎪
⇒⇒=⎨⎨
=-=⎪⎪⎩⎩
奇奇偶奇偶奇偶偶 注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；
②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
等差数列练习题
一、选择题 1.已知
为等差数列，
135246105,99
a a a a a a ++=++=，则
20
a 等于（ ）
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63
3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于
A ．1
B 5
3
C.- 2 D 3
4.已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ A.－2 B.－12 C.1
2
D.2
5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =( ) A.12 B.13 C.14 D.15
6.在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S 9等于 （ ） A ．18 B 27 C 36 D 9
7.已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120
8.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11
2
a =，420S =，则6S =（ ） A ．16 B ．24 C ．36
D ．48
9.等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
11.已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是 （ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
12．等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
二、填空题
13．已知}{n a 是等差数列，且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 则
k = .
14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1221S =，则25811a a a a +++=
．
15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++=
16.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则9
5
S S = 17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a =
18.已知等差数列{}n a 的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，则前10项的和S 10=
19.设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若
3
41
3-+=
n n T S n n ，那么=n
n
b a ___________；
20．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，542,30n a a -==(n ≥5，*
n N ∈)，n S =336，则n 的值
是 .
三、解答题
21.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.
22.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.
23.己知}{n a 为等差数列，122,3a a ==，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构
成一个新的等差数列，求：（1）原数列的第12项是新数列的第几项？ （2）新数列的第29项是原数列的第几项？
24.设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： （1）}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.
25.已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n s .
26．数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且第六项为正，第七项为负。

（1）求数列公差；（2）求前n 项和n s 的最大值；（3）当0>n s 时，求n 的最大值。