数学 集合
【重点难点解析】
集合论是由德国数学家康托(Cantor ，1845—1918)创立的，它的创立使数学的面貌产生了巨大的变化．现在我们学习的是集合的初步知识．
本节重点是集合的基本要领及其表示方法，难点是运用集合的表示方法正确表示一些简单的集合．学习中请注意以下几点：
(1)集合与集合的元素是两个不同的概念，与几何中的点、线、面的概念类似．但是，应把握集合元素的确定性、互异性、无序性，要明确元素的属性，这是解决集合问题的关键．
(2)集合具有两方面的含义：一方面，凡符合条件的对象都是它的元素，另一方面，凡它的元素都符合条件．
(3)新的国家标准定义自然数集N 含元素“0”，这与初中所学不同，要注意．
【考点】
本节是打基础的预备知识，考试时一般是与后面章节结合起来考查，因此，本节学习需达到的要求是： ①理解集合概念；
②掌握集合的常用表示方法；
③会正确使用符号∈与∉．
【典型热点考题】
例1 考察下列每组对象能否构成一个集合？
(1)比较小的数；
(2)所有无理数；
(3)比2大的几个数；
(4)直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点；
(5)高一(2)班所有的男生．
思路分析
判断一组对象能否构成一个集合，关键在于是否有一个明确的标准来判断这些对象具有某种性质． 解：(1)“比较小”无明确的标准，对于某个数是否“比较小”无法客观地判断，因此“比较小”的数不能构成集合；类似地，(3)也不能构成集合．
(2)任给一个实数，可以明确地判断它是不是无理数，故“所有无理数”可以构成集合．类似地，(4)、
(5)也能构成集合．
例2 设集合}Z k 412k x |x {M ∈+==，，}Z k 2
14k x |x {N ∈+==，，则( ) A ．M ＝N B ．N M ≠⊂ C ．N M ≠⊃ D ．M ∩N ＝∅ 思路分析1 采用描述法向列举法转化：
k 取0，±1，±2，±3，…，可得：
}4
54341414345{ ，，，，，，，---=M
}4
514321410412143145{ ，，，，，，，，，，，，-----=N ∴N M ≠⊂
点评 集合的表示法，包括列举法与描述法．将两种表示法相互转化，属基本能力要求．
思路分析2
设x ∈M ． 则4
12k x += 2
141k 2+-= ∵k ∈Z
∴2k －1∈Z 从而，得：N 2
141k 2x ∈+-= 由x 的任意性，可得N M ⊆
又∵0∈N
但是M 0∉
假设0∈M ，则2
1k 412k 0-=⇒+= 与k ∈Z 矛盾
∴M 0∉ ∴N M ≠⊂．
点评 设集合M={x|F(x)}，则x M x ⇔∈满足条件F(x)；利用子集、真子集的定义证明两个集合之间的“包含于”与“真包含于”的关系．
⇔⊆N M 对任意x ∈M ，恒有x ∈N ；
N M N M ⊆⇔≠⊂且存在N y 0∈，但M y 0∉．
例3 设}Z b Z a 1
|b 2a | |2b a {M 22∈∈=-+=，，，已知x ∈M ，y ∈M ．求证：(1)xy ∈M ；(2)M x 1∈． 思路分析
根据集合两方面的含义，已知x 、y ∈M ，则x 、y 都可写成2b a +的形式且1|b 2a |22=-，a 、b ∈Z ．而要证明xy ∈M ，M x
1∈，则需证明它们符合M 的属性． 证明：(1)∵x ∈M ，y ∈M ∴可设22d c y b a x +=+=，
且1|b 2a |22=-，1|d 2c |22=-，a 、b 、c 、d ∈Z
∴)ad bc (2)bd 2ac ()2d c )(2b a (xy +++=++=
其中，ac ＋2bd ∈Z ，bc ＋ad ∈Z
且1|)d 2c ()b 2a (||)ad bc (2)bd 2ac (|222222=-⋅-=+-+
∴xy ∈M ． (2)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=--=--=+=1)
2b a ( 21)2b a ( 222211222222当当b a b a b a b a b a x 显然有M 2b a ∈-，M 2b a ∈+- ∴M x
1∈．
【同步达纲练习】
一、选择题
1．设A ＝{a}，则下列各式中正确的是( )
A ．0∈A
B ．A a ∉
C ．a ∈A
D ．a ＝A
2．用列举法将集合{(x ，y)|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}表示为( )
A ．{1，2}∈A
B ．{1，2}
C ．2＝{(2，2)}
D ．{(1，2)，(1，1)，(2，1)，(2，2)}
3．在①难解的题目；②方程03x 2=-在实数集内的解；③直角坐标平面内第四象限的一些点；④很多多项式中，能够组成集合的是( )
A ．②
B ．①、③
C ．②、④
D ．①、②、④
4．已知集合}31x |R x {A <-∈=，则有( )
A ．3∈A 但A 3∉-
B ．3∈A 且－3∈A
C ．A 3∉且A 3∉-
D ．A 3∉但－3∈A
5．下面有4个命题：①N a ∉-，则a ∈N ；②{0}表示仅有一个元素零的集合；③x 44x 2=+的解集可表示为{2，2}；④{y||y|<1}是有限集；其中正确命题的个数是( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
二、填空题
1．用符号∈或∉填空
}11x |x _________32<{，}32x |x _________52+≤+{，
3____________}1|{2N n n x x ∈+=，，(－1，1)__________}x y |y {2=
2．集合}5n N n 2
n 1n x |x {≤∈+-=，，用列举法表示为____________． 3．集合} 5 2 3 2 1{ ，，，，，
用描述法表示为____________． 4．}Q x R x |x {A ∉∈=且，下列实数：︒----60cos 2 3 1010100 22 31321
，，，.，，， π中，属于
集合A 的元素是____________．
5．平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点集可表示为____________．
三、问答题
1．已知集合A ＝{小于6的自然数}，B ＝{小于10的质数}，C ＝{24和36的全体约数}，用列举法表示：
(1){y|y ∈A 且y ∈C}；(2){y|y ∈B 但C y ∉}．
2．设}025ax x |x {212=-
-∈，求集合}0a x 2
19x |x {2=--中所有元素．
3．已知M ＝{2，a ，b}，N ＝{2a ，2，2b }，且M ＝N ，求a 、b 的值．
4．已知集合}R a 02x 3ax |R x {A 2∈=+-∈=，，若A 中元素至多只有一个，求a 的取值范围．
参考答案
【同步达纲练习】
一、1．C 2．D 3．A 4．D 5．B
二、1．∉，∈，∉，∉提示：因为111232>= 32)32(12271027)52(5222+=+=+<+=+=+
令31n 2=+，则N 2n ∉±=
2．}7
4 21 52 41 0 21
{，，，，，- 3．}N n 1
n x |x {∈+=， 4．321
2 3 22－，，，-π提示：－0.101010…是循环小数，属于有理数 5．{(x ，y)|xy=0}
三、
1．∵A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{2，3，5，7}，C ＝{1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36} ∴(1){y|y ∈A 且y ∈C}={1，2，3，4}
(2){y|y ∈B 但C y ∉}={5，7}
2．∵}025ax x |x {212=-
-∈， ∴02521a )21(2=-⋅
- ∴2
9a -=， ∴}9 2
1{}029x 219x |x {}0a x 219x |x {22，==+-==-- 3．根据集合元素的特征解题
∵M ＝N
⎩⎨⎧==2b b a 2a 或⎩
⎨⎧==a 2b b a 2
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==21
b 41a 1b 0a 0b 0a 或或 而⎩
⎨⎧==0b 0a 不符合集合元素的互异性 ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==21
b 41a 1b 0a 或 4．讨论方程02x 3ax 2=+-实数根的情况，从中确定a 的取值范围．依题意方程有一个实数根或有两个相等的实数根或无实数根．
解：(1)a ＝0时，方程－3x ＋2＝0，3
2x =，符合题意 (2)a≠0时，方程02x 3ax 2=+-为一元二次方程
由题意⊿＝9－8a ≤0，∴89a ≥
此时方程有两个相等实数根或无实根，符合题意 综合(1)、(2)，a ＝0或8
9a ≥
．。