一元二次函数解法讲义【知识梳理】1．定义：一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 都是常数，,那么的二次函数是x y2。

二次函数c bx ax y ++=2()0≠a 配方得:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 44,22-=-=3。

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向： （1）当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大,当abx 2-= ,y 值最小，最小值为a b ac 442-（2）当时，开口向下;顶点是抛物线的最高点，在对称轴左侧，y 随ｘ的增大而减小，当abx 2-= ,y 值最大,最大值为a b ac 442-（3）a 相等,抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作．特别地,ｙ轴记作直线.4.顶点决定抛物线的位置：几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1)公式法：ab ac a b x a c bx ax y 44)2(222-++=++=, ∴顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线abx 2-=． （２）配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k h x a y +-=2)(的形式，得到顶点为),(k h ,对称轴是直线.(３）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失．6.抛物线的作用中，c b a c bx ax y ,,2++=（１）决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的完全一样.(２）和共同决定抛物线对称轴的位置：由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故: ①时,对称轴为轴 ②ab＞0（即、同号）时,对称轴在轴左侧 ③0<ab（即、异号）时,对称轴在y 轴右侧. （3）的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当y x 时，0=c =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，）:①，抛物线经过原点； ②,与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴。

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立。

如抛物线的对称轴在轴右侧，则0<ab. ７.用待定系数法求二次函数的解析式（１）一般式：c bx ax y ++=2。

已知图像上三点或三对y x ,的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(３)交点式:已知图像与轴的交点坐标21,x x ，通常选用交点式:))((21x x x x a y --=． ８。

直线与抛物线的交点 (１）轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为),0(c . （2）与轴平行的直线与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(,）．(3）抛物线与轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与轴的两个交点的横坐标21,x x ,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的 判别式判定:①有两个交点抛物线与轴相交；②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；③没有交点抛物线与轴相离.(4）平行于轴的直线与抛物线的交点:同(3)一样可能有0个交点、１个交点、2个交点。

当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根。

（5）一次函数)0(≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 的图像G 的交点，由方程组的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时与有两个交点； ②方程组只有一组解时与只有一个交点； ③方程组无解时与没有交点。

（6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与轴两交点为)0,(),0,(21x B x A ，由于21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x -=•-=+2121,经典例题：【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中,值为正的有（ )A 、4个B 、3个 Ｃ、2个 Ｄ、1个解析:∵abx 2=＜１ ∴b a +2＞0答案:Ａ评注:由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。

由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42-的符号,若x 轴标出了1和-1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c b a +-的符号。

【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(—2，０）,求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知:原抛物线的图像经过点（１,０)；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线.解：可设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（１,0）∴1)521(02+-+=a ，解得41-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(412+--=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用.另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:①开口反向（或旋转1800）,此时顶点坐标不变,只是a 反号;②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号;③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称； 探索与创新：yx例 1 图-1 1O【问题】已知，抛物线22)1(t t x a y +--=(a 、t 是常数且不等于零)的顶点是Ａ,如图所示,抛物线122+-=x x y 的顶点是B.（1)判断点A 是否在抛物线122+-=x x y 上，为什么？（２）如果抛物线22)1(t t x a y +--=经过点B ，①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点Ａ能否构成直角三角形?若能，求出它的值；若不能，请说明理由。

yx问题图OB解析:（1)抛物线22)1(t t x a y +--=的顶点A （1+t ，2t ）,而1+=t x 当时，222)11()1(12-+=-=+-=x x x x y ＝2t ，所以点Ａ在抛物线122+-=x x y 上。

（2)①顶点B （1，０），0)11(22=+--t t a ,∵0≠t ，∴1-=a ；②设抛物线22)1(t t x a y +--=与x 轴的另一交点为Ｃ，∴Ｂ(1，０）,C （12+t ，0），由抛物线的对称性可知,△ＡBC 为等腰直角三角形，过A 作ＡD ⊥x 轴于D ，则A Ｄ＝ＢＤ。

当点C 在点B 的左边时,)1(12+-=t t ，解得1-=t 或0=t （舍）；当点C 在点B 的右边时，1)1(2-+=t t ,解得1=t 或0=t （舍）。

故1±=t 。

评注：若抛物线的顶点与x 轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的中线（高）等于斜边的一半"这一关系求解有关问题。

针对练习: 一．填空题 1.把抛物线221x y -=向左平移２个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个单位,得抛物线 .2。

函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3。

正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么ｙ与x 之间的函数关系是 。

4。

二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 ．5.二次函数c ax y +=2（c 不为零)，当x 取ｘ1，x 2（x 1≠x 2）时,函数值相等，则ｘ1与x 2的关系是 。

6．抛物线c bx ax y ++=2当ｂ=0时,对称轴是 ，当ａ,b 同号时，对称轴在y轴 侧,当a,b 异号时,对称轴在y 轴 侧.7。

抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 。

如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 。

8。

若a <0,则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限;当ｘ>4a-时，函数值随x 的增大而 。

9。

二次函数c bx ax y ++=2（ａ≠0）当a >0时,图象的开口ａ<0时，图象的开口 ,顶点坐是 。

１０．抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称是 ． 11。

二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是(1，-2）． 12.已知2)1(312-+=x y ，当ｘ 时，函数值随x 的增大而减小． 13．已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 。

14．用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 。

15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 。

二、选择题:１6。

在抛物线1322+-=x x y 上的点是( )Ａ。

（0，－1） B 。

⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21Ｃ.（-1，５） D 。

（３，4) 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A ．0个 Ｂ.1个 C.2个 D ．互相重合的两个 18.关于抛物线c bx ax y ++=2（ａ≠０）,下面几点结论中,正确的有（ )① 当ａ>0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边ｙ随x 的增大而增大，当a <0时，情况相反．② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与ｘ 轴 交点的横坐标。

A.①②③④ B 。

①②③ C ． ①② D.① 1９。

二次函数y=（x+1）(x —3)，则图象的对称轴是（ ）A ．x=1B 。

ｘ=-2C 。

x=3 D.x=-3 20。

图象的顶点为（-2，-２ )，且经过原点的二次函数的关系式是( ） Ａ.ｙ=12（x+2 )2 —２ B ．ｙ＝12(ｘ-２ ）２ —２ C ． y = 2(x+２ )2—２ Ｄ． y ＝ 2（ｘ-2 ）2-221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba( ） A 。