中考数学十大解题思路之反证法一、选择题1否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A.有一个解B.有两个解 C .至少有三个解D .至少有两个解［答案］C［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n+ 1个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”故应选C.2•否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为（）A. a、b、c都是奇数 B . a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C. a、b、c都是偶数 D . a、b、c中至少有两个偶数［答案］B［解析］a, b, c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数.因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”.故应选B.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是（）A.假设三内角都不大于60° B .假设三内角都大于60 °C.假设三内角至多有一个大于60° D .假设三内角至多有两个大于60°［答案］B［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”.故应选B.4.用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2+ bx+ c = 0（a工0）有有理根，那么a, b, c中至少有一个是偶数”下列假设正确的是（)时，A.假设a, b, c都是偶数 B .假设a、b, c都不是偶数C.假设a, b, c至多有一个偶数 D .假设a, b, c至多有两个偶数［答案］B9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)［解析］"至少有一个”反设词应为"没有一个”，也就是说本题应假设为a, b, c都不是偶数.5.命题“△ ABC中，若/ A>/ B,则a>b”的结论的否定应该是（）A. a<b B . a< b C . a = b D . a> b［答案］B［解析］“a>b”的否定应为“ a = b或a<b”，即a< b.故应选B.6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”,乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A.甲B.乙C.丙D. 丁［答案］C［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手.故应选C.7.用反证法证明命题三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A.有一个内角大于60°B. 有一个内角小于60°C. 每一个内角都大于60°D.每一个内角都小于60°［答案］C［解析］用反证法证明三角形中必有一个内角小于或等于60° ”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60 ° ,即都大于60° .8.用反证法证明命题’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A.有两个角是直角B. 有两个角是钝角C. 有两个角是锐角D. 一个角是钝角，一个角是直角［答案］A［解析］用反证法证明’一个三角形中不能有两个角是直角”，应先设这个三角形中有两个角是直角.A.有一个锐角小于45°B.每一个锐角都小于45°C.有一个锐角大于45°D.每一个锐角都大于45°［答案］D［解析］用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°时，应先假设每一个锐角都大于45。
.10.在证明在厶ABC中至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中（）A.没有锐角B.都是直角C.最多有一个锐角D.有三个锐角［答案］C［解析］用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，应先假设同一三角形中最多有一个锐角.11.用反证法证明：’一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设（）A. —个三角形中至少有两个钝角B. 一个三角形中至多有一个钝角C. 一个三角形中至少有一个钝角D. 一个三角形中没有钝角［答案］A［解析］从结论的反面出发进行假设，证明一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角.12.用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90° ,应先假设（）A.四边形中有一个内角小于90°B.四边形中每一个内角都小于90°C.四边形中有一个内角大于90°D.四边形中每一个内角都大于90°［答案］B［解析］用反证法证明：在四边形中，至少有一个角不小于90°应先假设：四边形中的每个角都小于90 °13 •用反证法证明一个三角形中至少有两个锐角”时，下列假设正确的是（）A.假设一个三角形中只有一个锐角B.假设一个三角形中至多有两个锐角C.假设一个三角形中没有一个锐角D.假设一个三角形中至少有两个钝角［答案］D［解析］用反证法应先假设一个三角形中最多有一个锐角"或者假设一个三角形中至少有两个钝角.14.用反证法证明命题三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是（）9.用反证法证明命题在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 °”时，应先假设（)A.三角形中最少有一个角是直角或钝角B.三角形中没有一个角是直角或钝角C.三个角全是直角或钝角D. 三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角［答案］D［解析］假设正确的是：假设三角形中有两个（或三个）角是直角或钝角.二，填空题1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________ .［答案］没有一个是三角形或四边形或五边形［解析］“至少有一个”的否定是“没有一个”2•用反证法证明命题“a, b是自然数N, ab可被5整除，那么a, b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是__________________ .［答案］a, b都不能被5整除［解析］“至少有一个”的否定是“都不能”.3•用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①/ A+Z B+Z C= 90° + 90°+/ 0180°,这与三角形内角和为180。
相矛盾，则/ A=Z B= 90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设Z A, / B,Z C中有两个角是直角，不妨设Z A=Z B= 90° .正确顺序的序号排列为______________ .［答案］③①②［解析］由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②•4.若a〃b, b II c, 证明a II c.用反证法证明的第一步是假设a与c不平行5.对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，这个命题用反证法证明应假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形6.用反证法证明三角形中最多有一个是直角或钝角 ___ ”8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐时应假设7.用反证法证明四边形的四个内角不能都是锐角”时，应首先假设四边形的四个内角都是锐角______8.用反证法证明：多边形的内角中锐角的个数最多有三个的第一步应该是: 假设多边形的内角中锐角的个数最少是4个.9•用反证法证明命题三角形中最多有一个是直角”时，可以假设为三角形中最少有两个角是直角•10.用反证法证明在△KBC中，至少有一个内角小于或等于60。
时，第一步是假设SBC中，每一个内角都大于60°•11.用反证法证明命题一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角"的第一步应假设一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角•12.反证法”证明命题等腰三角形的底角是锐角”时，是先假设等腰三角形的两底都是直角或钝角•三、解答题1.已知：a+ b+ c>0, ab+ be + ca>0, abc>0.求证：a>0, b>0, c>0.证明：用反证法：假设a, b, c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0, b<0, c>0，则由a+ b+ c>0,可得c>—(a + b),又a + b<0,二c(a + b)< —(a + b)(a + b)ab+ c(a + b)< —(a + b)(a + b) + ab即ab+ bc + ca<—a —ab —b2 2 2 2 2 2-a >0, ab>0, b>0,.. —a —ab —b = —(a + ab + b )<0 ，即卩ab + bc + ca<0,这与已知ab+ bc+ ca>0矛盾，所以假设不成立.因此a>0, b>0, c>0成立.2•用反证法证明：等腰三角形两底角必为锐角.证明：①设等腰三角形底角/ B，/ C都是直角，则/ B+ / C=180，而/ A+ / B+ / C=180 + / A > 180°这与三角形内角和等于180°矛盾.②设等腰三角形的底角/ B ,ZC都是钝角，则/ B+ / C> 180°而/ A+ / B+ / C=180，这与三角形内角和等于180°矛盾.综上所述，假设①，②错误，所以/ B ,Z C只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角3.用反证法证明：一条线段只有一个中点.证明：假设线段AB有两个中点M N,不妨设M在N的左边，贝U AMC AN,又AM=AB=AN=AB,这与AMK AN矛盾，\2 M所以一条线段只有一个交点4.用反证法证明："在一个三角形中，外角最多有一个锐角”证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角.根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90 则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾.因而假设错误.故在一个三角形中，外角最多有一个锐角.。