北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案2018．3三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2co s b a A =，得co s 0A >，因为s in 5A =，所以c o s 5A =.因为2co s b a A =，所以4s in 2s in c o s 2555B A A ==⨯=．故ABC ∆的面积1s in 22S a c B ==． ………………….7分（Ⅱ）因为4s in 5B =，且B 为锐角，所以3c o s 5B =.所以s in s in ()s in c o s c o s s in 25C A B A B A B =+=+=．………….13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2A B A E ==，因为O 为B E 中点，所以A O B E '⊥． 因为平面A B E '⊥平面B C D E ，且平面A B E'平面B C D E B E =，A O '⊂平面AB E '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为C D ⊂平面B C D E ，所以A O C D '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段B C 上靠近B 点的四等分点，G 为C D 中点．由已知易得O F O G ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面B C D E ， 所以A O O F '⊥，A O O G '⊥.以O 为原点，,,O F O G O A '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4B C =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A D E '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(13(020)A D D E ，，，，'=--=-，所以0, 0,A D D E ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得0,1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值s in 3θ==……….10分（Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//O P 平面A D E '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A P A Cλλ'=≤≤'，则A P AC λ''=，[0,1]λ∈．因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ-=，所以000,3,xy z λλ===，所以(,3,)P λλ，(,3)O P λλ=．若//O P 平面A D E '，则O P ⊥m.即0O P ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A D E '的一个法向量0,1)=-m ，0-=，解得1[0,1]2λ=∈，所以当12A P A C'='时，//O P 平面A D E '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人．……….3分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===，1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-==.所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分18． (本小题满分13分) （Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x xx-=-. 2222ln 22ln ()2x x xf x xx---'=-=.（ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y=-.….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分（Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x a x x--<-，等价于21ln 0a x x x -+->.设2()1ln h x a x x x=-+-，只须证()h x >成立.因为2121()21a x x h x a x xx--'=--=，12a <<，由()h x '=，得2210a x x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210a x x --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>. 则()h x 的最小值为20000()1ln h x a x x x =-+- 00011ln 2x x x +=-+-3ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此03ln 02x x -->，即0()h x >.所以()h x >所以()1f x <-. (13)分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得222222,11 1.2c a a bc a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a=1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212xy+=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)yk x =+，直线2l 的方程为ykx=-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线A E 与直线B F 的斜率之和为零，即0A EB F k k += ．因为13231323A EB F y y y y k k x x x x -++=+-+13231323(1)(1)k x k x k x k x x x x x +++-=+-+2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx x k-+=+，21222212kx x k-=+．由22,1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x+=，所以232212x k=+．所以2221212322244442()20121212kkx x x x x kkk--+++=++=+++．2121231323[2()2]()()A EB F k x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。