与轴对称相关的线段之和最短问题我们经常在考试当中看到求线段之和最小的问题，每当我们看到这样的题型，同学们从今往后就要高兴了，因为我把它们出现的模型整理如下。

首先来看下这几个数学模型：模型1：两点之间线段最短。

要在l 找点P ，使得PA+PB 最短，这模型最简单，两点之间线段最短。

模型2：将军饮马问题。

在l 上找一点P ，使得PA+PB 最短，作对称。

其中BA ’就是最短的值 模型3：两动点找三角形周长最小在OA ，OB 上找点M 、N ，使得△PMN 周长最小，把P 关于OA ，OB 分别作对称，然后连接两个对称点，交点记为所求，然后周长最小值为P ’P ’’， 模型4：两动点加垂线段最短，在OA 上找一点M ，使得M 到OB 的距离与M 到P 的距离之和最短。

作P 关于OA 的对称点，然后在对称点P ’上作OB 的垂线，交点即为所求，P ’N 就是最短值。

模型4：如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。

使四边形PAQB 的 周长最小。

总结一句话，要在哪找点，我们就关于谁作对称！是不是很好理解？好吧！我们看看下面这些例题该怎样套上我们的模型！ 题型1：直线类例题1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M 则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中， AE = AC+CE = 10+30 = 40 EB' = 30M EB'CD A B所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万例题2．求代数式x 2+ 1 + (4-x)2+ 4 （0≤x ≤4）的最小值 如右图，AE 的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF 中 AF = 3 EF = 4则AE = 5所以，这个代数式的最小值是5 题型2：角类例题3．如图∠AOB = 45°，P 是∠AOB 内一点，PO = 10，Q 、P 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值．分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连接P 1P 2，交OA 、OB 于点Q ，R ，连接OP 1，OP 2， 则OP = OP 1 = OP 2 = 10且∠P 1OP 2 = 90°由勾股定理得P 1P 2 = 10 2 题型3：三角形类例题4．如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB+PE 的最小值为 即在AC 上作一点P ，使PB+PE 最小作点B 关于AC 的对称点B'，连接B'E ，交AC 于点P ，则B'E = PB'+PE = PB+PE B'E 的长就是PB+PE 的最小值在直角△B'EF 中，EF = 1，B'F = 3根据勾股定理，B'E = 10 例题5．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值为_______。

即是在直线AB 上作一点E ，使EC+ED 最小作点C 关于直线AB 的对称点C'，连接DC'交AB 于点E ，则线段DC'的长就是EC+ED 的最小值。

在直角△DBC'中DB=1，BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 5 例题6．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值因为点C 关于直线AD 的对称点是点B ，所以连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2- CH 2= 62- 32= 3 321Ｃ'ＡＣP 2OB在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12= 27题型4：正方形类例题7．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．2 3 B ．2 6 C ．3 D ． 6 即在AC 上求一点P ，使PE+PD 的值最小点D 关于直线AC 的对称点是点B ，连接BE 交AC 于点P ，则BE = PB+PE = PD+PE ，BE 的长就是PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3例题8．在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 即在AC 上求一点P ，使PB+PQ 的值最小因为点B 关于AC 的对称点是D 点，所以连接DQ ，与AC 的交点P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ 的长就是PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ = 5 题型5：矩形类例题9．如图，若四边形ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PD 的最小值；作点C 关于BD 的对称点C'，过点C'，作C'B ⊥BC ，交BD于点P ，则C'E 就是PE+PC 的最小值直角△BCD 中，CH = 205 错误!未找到引用源。

直角△BCH 中，BH = 8 5△BCC'的面积为：BH ×CH = 160所以 C'E ×BC = 2×160 则CE' = 16 题型6：菱形类例题10．如图，若四边形ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边BC 上的一个动点，P 为BD 上的一个动点，求PC+PE 的最小值； 点C 关于BD 的对称点是点A ，过点A 作AE ⊥BC ，交BD 于点P ，则AE 就是PE+PC 的最小值BDADADB在等腰△EAB 中，求得AE 的长为5 2 题型7：直角梯形类例题11．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ）A 、17172B 、17174 C 、 17178 D 、3作点A 关于BC 的对称点A'，连接A'D ，交BC 于点P 则A'D = PA'+PD = PA+PD A'D 的长就是PA+PD 的最小值 S △APD = 4在直角△ABP 中，AB = 4，BP = 1 根据勾股定理，得AP =17 所以AP 上的高为：2×417= 81717题型8：圆类例题12．已知⊙O 的直径CD 为4，∠AOD 的度数为60°，点B 是AD ︵的中点，在直径CD 上找一点P ，使BP+AP 的值最小，并求BP+AP 的最小值．即是在直线CD 上作一点P ，使PA+PB 的值最小作点A 关于CD 的对称点A'，连接A'B ，交CD 于点P ，则A'B 的长就是PA+PB 的最小值 连接OA'，OB ，则∠A'OB=90°， OA' = OB = 4根据勾股定理，A'B = 4 2例题13．如图，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( )A 2 2B 2C 1D 2 即在MN 上求一点P ，使PA+PB 的值最小作点A 关于MN 的对称点A'，连接A'B ，交MN 于点P ， 则点P 就是所要作的点A'B 的长就是PA+PB 的最小值连接OA'、OB ，则△OA'B 是等腰直角三角形 所以 A'B = 2 题型9：一次函数类例题14．在平面直角坐标系中，有A （3，－2），B （4，xDCA'2）两点，现另取一点C（1，n），当n =______时，AC + BC的值最小．点C（1，n），说明点C在直线x=1上，所以作点A关于直线x=1的对称点A'，连接A'B，交直线x=1于点C，则AC+BC的值最小设直线A'B的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当x = 1时，y = -(2/5)故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小例题15．一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．(1)由题意得：0 = 2x+b4 = b解得 k = -2，b= 4，所以 y = -2x+4(2)作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P则C'D = C'P+PD = PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接CD，则CD = 2，CC' = 2在直角△C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2 2求直线C'D的解析式，由C'(-1，0)，D(1，2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1，b = 1，所以 y = x+1当x = 0时，y =1，则P(0，1)题型10：二次函数类例题16．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结0A，将线段OA绕原点O 顺时针旋转120。

，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果均保留根号）(1)B(1， 3 )(2) y =33x2 +233x(3)因为点O关于对称轴的对称点是点A，则连接AB，交对称轴于点C，则△BOC的周长最小y =33x 2 + 233x ，当x=-1时，y = 33所以C(-1，33) 例题17．如图，抛物线y ＝x 2＋bx －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A (－1，0)．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M(m,0)是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．(1) y = 12x 2 - 32 -2 (3)作点C 关于x 轴的对称点C ’，连接C ’D ，交x 轴于点M ，则MC+MD 的值最小，求出直线C ’D 的解析式，即可得到M 点的坐标 m = 2441方法点拨：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段最短”，实现“折”转“直”即可解决。