（3）射影定理：a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosA
2．正弦定理：
证明：由三角形面积
得
画出三角形的外接圆及直径易得：
3．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA, ；
证明：如图ΔABC中，
当A、B是钝角时，类似可证。正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题．
剖析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为 =a，再用正弦定理可求 的值.
解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.
又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得
cosA= = = ，∴∠A=60°.
解：由已知条件得
．即有 ，
又 ∴ ．
∴
当 时, ．
◆思路方法:1.边角互化是解三角形问题常用的手段．一般有两种思路：一是边化角；二是角化边。
2.三角形中的三角变换，应灵活运用正、余弦定理．在求值时，要利用三角函数的有关性质．
【研讨.欣赏】
（2006江西）如图,已知△ 是边长为 的正三角形, 、 分别是边 、 上的点,线段 经过△ 的中心 .设 .
在△ABC中，由正弦定理得sinB= ，
∵b2=ac，∠A=60°，
∴ =sin60°= .
解法二：在△ABC中，
由面积公式得 bcsinA= acsinB.
∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB.
∴ =sinA= .
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
6．熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，能在应用题中抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；提高运用所学知识解决实际问题的能力
双基题目练练手
1．(2006山东)在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
B.2C. D.
2．在△ABC中，AB=3，BC= ，AC=4，则边AC上的高为（ ）
A. B. C. D.
5.（2006全国Ⅱ）已知 的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为_________.
6.(2006春上海)在△ 中，已知 ，三角形面积为12，则
.
◆答案:;3.由2cosBsinA=sinC得 ×a=c，∴a=b.
4.组成边长6,7,7时面积最大; 5. ; 6.
4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；
有三种情况：bsinA<a<b时有两解；a=bsinA或a=b时有 解；a<bsinA时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
（2）设AB和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin（A+B）= ，sin（A－B）= ，
∴
=2.
∴tanA=2tanB.
（2）解： ＜A+B＜π，∴sin（A+B）= .
∴tan（A+B）=－ ，
即 =－ .将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B－4tanB－1=0，解得tanB= （负值舍去）.得tanB= ，∴tanA=2tanB=2+ .
A. +
C. +
3..下列条件中，△ABC是锐角三角形的是 ( )
+cosA= B. · ＞0
+tanB+tanC＞0=3，c=3 ，B=30°
4.(2006全国Ⅰ) 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
【填空题】
5.（2004春上海）在 中， 分别是 、 、 所对的边。若 ， ， ， 则 __________
3.由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，A、B、C都为锐角.答案：C
; 6.若c最大，由cosC＞0.得c＜ .又c＞b－a=1，∴1＜c＜ .
【解答题】
7.（2004春北京）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及 的值.
四、经典例题做一做
【例1】(2006天津)如图，在 中， ， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值.
解（Ⅰ）： 由余弦定理，
∴
（Ⅱ）解：由 ，且 得
由正弦定理:
解得 。所以， 。由倍角公式
，
且 ，故
.
◆提炼方法：已知两边夹角,用余弦定理,由三角函数值求三角函数值时要注意“三角形内角”的限制.
【例2】在ΔABC中，已知a= ,b= ,B=45°，求A,C及边c．
可由三数的均值不等式结合cotA+cotB+cotC=cotAcotBcotC来证.
1.（2004浙江）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞ ”的 ( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2.（2004全国Ⅳ）△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为 ，那么b等于 ( )
∴sinA=sin105°=sin（45°+60°）
=sin45°cos60°+cos45°sin60°= .
∴S△ABC= AC·ABsinA
= ·2·3·
= （ + ）.
解法二：∵sinA+cosA= ，①
∴（sinA+cosA）2= .∴2sinAcosA=－ .
∵0°＜A＜180°，∴sinA＞0，cosA＜0.
（2）求y的最小值.
解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化.
（2）∵cos（B－C）≤1，
∴y≥cotA+ = +2tan = （cot +3tan ）≥ = .
故当A=B=C= 时，ymin= .
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC中，求证：cotA+cotB+cotC≥ .
∴90°＜A＜180°.
∵（sinA－cosA）2=1－2sinAcosA= ，
∴sinA－cosA= .②
①+②得sinA= .
①－②得cosA= .
∴tanA= = · =－2－ .
（以下同解法一）
9.（2004全国Ⅱ）已知锐角△ABC中，sin（A+B）= ，sin（A－B）= .
（1）求证：tanA=2tanB；
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）；3.利用余弦定理，可以解决以下两类问题：
（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
4．边角互化是解三角形的重要手段．
正弦、余弦定理解斜三角形
【选择题】
设AB边上的高为CD，则AB=AD+DB= + = .由AB=3得CD=2+ ，所以AB边上的高为2+ .
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
10.在△ABC中，sinA= ，判断这个三角形的形状.
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得
a= ，所以
,
化简得a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.
【探索题】已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+ .
（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化?试证明你的结论.
8.（2005春北京）在△ABC中，sinA+cosA= ，AC=2，AB=3，求tanA的值和△ABC的面积.
解法一：∵sinA+cosA= cos（A－45°）= ，
∴cos（A－45°）= .
又0°＜A＜180°，
∴A－45°=60°，A=105°.
∴tanA=tan（45°+60°）= =－2－ .
正弦、余弦定理解斜三角形
建构知识网络
1．三角形基本公式：
（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC,cos(A+B)= -cosC,
cos =sin ,sin =cos
（2）面积公式：S= absinC= bcsinA= casinB
S=pr= (其中p= ,r为内切圆半径)
【例3】(2006上海)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到 ）？
[解]连接BC,由余弦定理得
BC2=202+102－2×20×10COS120°=700