成立（满足此条件的函 数，称它的增大是指数 级的， c 为它的 增长指数）。
则 f (t ) 的拉氏变换
F ( p)

f (t )e
0
pt
dt
在上半平面 Re （p） c 上一定存在。
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3.
拉普拉斯变换的性质
这一节，我们将介绍拉 氏变换的几个基本性质 ，它们在拉氏变换的
采用迂回的办法
利用
L f ( n) (t ) p n F ( p) p n1 f (0) p n2 f (0) f ( n1) (0)


对上面 f (t ) 的二阶导数项取拉氏变 换，得
L f (t ) L 2 cos t p2 L f (t ) p f (0) f (0)
高阶情况：
L f ( n) (t ) p n F ( p) p n1 f (0) p n2 f (0) f ( n1) (0)


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例4：求函数 f (t ) cos t 的拉氏变换
方法1：按照定义进行积分


0
cos t e p t d t
1 e ( p i ) t ( p i )
0

1 1 (0 1) p i ( p i )
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方法3：利用微分性质
由于
f (t )
f (t )
t 0
t 0
1
t 0
f(t)=cost
0
sin t
f (t ) 2 cos t
实际应用中都是很有用 的。为了叙述方便，假 定这些性质中，凡是要 求
实施拉氏变换的函数， 都满足拉氏变换存在定 理中的条件，并且把这 些
函数的增长指数都统一 地取为c .在证明这些性质时，不 再重述这些条件。
1. 线性性质
若 , 都是常数，
L f1 (t ) F1 ( p) ; L f 2 (t ) F2 ( p)
0
pt
dt
p

同理，可以推知
L t L 1 1 2 p p , L t2

2 L t 2 3 p p
, L t n

n! p n1
4. 位移性质
设 L f ( t ) F ( p) ，
证
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则有 L ea t f (t ) F ( p a) , a 为实（或复）常数。
t t
0

pt
C p 1 t 2 p 1 t e p C
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应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程， 可以将微分方程化为代数方程，使问题得以 解决。 在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于： 将一个信号从时域上，转换为复频域（s域） 上来表示，在线性系统、控制自动化上都有 广泛的应用。
数学中的变换手段，旨在化繁为简.
傅立叶积分变换： 适用于针对空间 变量的初值问题。
用来解常微分方程
将未知函数的常微分方 程，化成 象函数的代数方程， 达到消去对自变量求导运算 的目的。
在偏微分方程的两端， 对某个变量取变换，消去未 知函数对该自变量求偏导的 运算，得到象函数的较为简 单的微分方程。如果原来的 偏微分方程只包含两个自变 量，通过一次变换就能得到 象函数的常微分方程。
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例5： 求 t 1d t , t 2 t d t , t n t n1d t 的 L 变换。
2 n 0 0 0
t
t
t
若 L f (t ) F ( p)
解: 因为
f (t ) 1(t )
L 1( t ) d t 0
即 t 1 F ( p) L f ( t )d t L f ( t ) p 0 p
e pt p

0
t
f (t ) d t
0



0
f (t ) p t e dt p

F ( p) p
这里 L f (t ) F ( p)
这个性质表明：一个函 数 f ( t ) 从 0 t , 对 d t 积分后取拉氏变换, 等于这个函数的拉氏变 换除以复参数 p .


L e a t f (t ) e a t f (t ) e p t d t
0






0
f ( t ) e ( p a ) t d t
F ( p a) .
由此可见，上式右端只 是在 F ( p) 中，把 p 换成了 p a ，所以
L e a t f (t ) F ( p a ) , a 为实（或复）常数。
即


2 L cos t p2 L cos t p
L cos t p p2 2
移项、化简得
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3. 积分性质
若 L f (t ) F ( p)
t F ( p) 则 L f (t )d t p 0


表明：一个原函数乘以 指数函数ea t 的拉氏变换，等于其象 函数作位移 a。
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[ 例6 ]
求
n at L t e .
依据线性性质，有
Lcos t


1 e p
Hale Waihona Puke t1 1 1 p ( ) 2 2 p i p i p 2
附：L e i t e i t e p t d t
0


1 ( p i ) t e d (( p i ) t ( p i ) 0
dt

0
dt

0
f (t )e
pt 0
p f (t )e pt dt f (0) pF ( p)
0

d 2 f (t ) 2 p F ( p) pf (0) f ' (0) 2 dt
L f (t ) p2 F ( p) p f (0) f (0)
t
t F ( p) 则 L f ( t )d t p 0
1 1 p 2 p p 2 2 p2 3 p p
由积分性质得
f (t ) 2 t
pt 1 e dt 0
p

由积分性质得
L 2 t d t 0
t
2t e
p p2 2
运用分部积分法

1 1 2 pt pt pt cos t e d t cos t d ( e ) ...... cos t e dt 2 p0 p p 0 0



cost e
0
pt
dt
1


求解象空间的代数方程或常微分方程，得到象函 数，再将它 “反演” 成原函数(即为所求的解）。 积分变换法在求解常微分方程和偏微分方程的定 解问题中有非常广泛的应用。
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• • •
Fourier 积分变换法 Laplace 积分变换法 混合变换法
在工程力学、电磁场理论、光学、 热学、无线电学、通讯理论、微电子学、 核科学与技术、地震资料数据处理…等 方面，均有广泛的应用。
Fourier 积分变换 Laplace 积分变换
拉普拉斯积分变换： 适用于针对时间变 量的边值问题。
通过选取积分变换
用来解偏微分方程
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§3.3 拉普拉斯变换法(Laplace transform)
1. 拉普拉斯变换的定义
函数 f (t ) 的拉普拉斯变换定义为积分 0
t
证

利用分部积分法,

证 设 h(t ) f (t )d t , 则有
0

0

0
t
f ( t )d t e p t d t
h(t ) f (t ) , 且 h(0) 0
由前述微分性质，有
L h(t ) p Lh(t ) h(0) p L h(t )
什么是积分变换？ 把函数 f (t ) 经过积分的手段变为另一 类函数:
F ( ) f (t ) K (, t ) dt
a
b
F ( )称为象函数，f (t ) 称为原函数， K (, t ) 称为积分变换的核。
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什么是积分变换法？
(求解微分方程) 原空间：常微分方程 象空间： 代数方程 偏微分方程 常微分方程
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第三章：行波法与积分变换法
§3.3 拉普拉斯变换法
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式
• 三维波动方程的定解问题
• 拉普拉斯变换法
• 傅立叶变换法
• 积分变换法举例 参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
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法国18世纪后期到19世纪初数学界著名的三个 人物：拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange)、拉普 拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace）和勒让 德（Adrien-Marie Legendre)。因为他们三个的 姓氏的第一个字母为“L”，又生活在同一时代， 所以人们称他们为“三L”。