福州一中2020—2021学年第一学期第一学段模块考试高一数学学科一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.命题“存在0R x ∈，020x ≤”的否定是（ ）A.对任意的x R ∈，20x ≤B.对任意的x R ∈，20x >C.不存在0R x ∈，020x > D.存在0R x ∈，20x ≥2.幂函数的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则它的单调增区间是（ ） A.(,0)-∞B.(0,)+∞C.[0,)+∞D.(,)-∞+∞3.若集合{}2120A x x x =--≤，101x B x x ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，{} C x x A x B =∈∉且，则集合C =（ ）A.[3,1)(1,4]--⋃B.[3,1](1,4]--⋃C.[3,1)[1,4]--⋃D.[3,1][1,4]--⋃4.若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A.a b d c> B.a b d c< C.a b c d> D.a b c d< 5.设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<6.设函数||()2x f x =，则下列结论正确的是（ ）A.(1)(2)(f f f -<<B.((1)(2)f f f <-<C.(2)((1)f f f <<-D.(1)((2)f f f -<<7.若221xy+=，则x y +的取值范围是（ ） A.[0,2] B.[2,0]-C.[2,)-+∞D.(,2]-∞-8.已知()1()121(0)x a f x x x -⎛⎫=-->⎪⎝⎭，则“1a =”是“()0f x ≤恒成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9.设{}28150A x x x =-+=，{}10B x ax =-=，若A B B =，则实数a 的值可以为（ ）A.15B.0C.3D.1310.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（ ）A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 11.函数2()xf x x a=+的图象可能是（ ） A. B.C. D.12.已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是（ ） A.1a b c ++= B.1ab bc ca ++< C.c 的最大值为1D.a 的最小值为-1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1132081()274e π-⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=________. 14.函数()f x 的定义域为[0,8]，则函数(2)4f x x -的定义域是________. 15.已知21(31)4,1,()1,12x a x a x f x a x --+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a的取值范围是________.16.若函数224,,()22,,xx x x a f x x a ⎧-+≤=⎨+>⎩（0a >，且1a ≠）的值域为[3,)+∞，则实数a 的取值范围是________.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）已知集合{}02A x x =≤≤，{}32B x a x a =≤≤-. （1）若()U C A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若AB B ≠，求a 的取值范围.18.（本题满分12分）已知函数1()max ,22x f x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，(),1,()1,1,f x x g x x x x ≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩（1）填写表格后描点，并画出()y g x =的图象；（2）写出()g x 的最小值，以及不等式()20g x ->的解集. 19.（本题满分12分） 已知2()21xf x a =-+为奇函数. （1）求证：()f x 为增函数； （2）求()f x 的值域. 20.（本题满分12分）已知定义在R 上的函数()f x 对任意x ，y R ∈都有等式()()() 1f x y f x f y +=+-成立，且当0x >时，有()1f x >.（1）求证：函数()f x 在R 上单调递增；（2）若()34f =，且当0x >时，()()9233x x f f m m ++-⋅>恒成立，求实数m 的取值范围. 21.（本题满分12分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030()1800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.22.（本题满分12分）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足()01f =，对于任意x R ∈，()f x x ≥-，且1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 解析式；（2）讨论方程()|1|(0)f x mx m =->在区间(0,1)上的根个数. 参考答案：2020级福州一中高一数学期中考试参考答案1-8：BADB CDDC9.ABD 10.BD 11.BCD 12.ABC12.【解答】由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得1abc ab bc ca a b c abc ---+++-=1ab bc ca a b c ∴++=++-设a b c x ++=，则1ab bc ca x ++=-.2222()2()1a b c a b c ab bc ca ++=++-++=，22(1)1x x ∴--=，解得1x =，即1a b c ++=，0ab bc ca ++=. ()0ab a b c ∴++=，即()(1)0ab a b a b ++--=.220a b ab a b ∴++--=，即22(1)0b a b a a +-+-=.由a ，b R ∈知，()()22140a a a ∆=---≥.∴23210a a --≤，解得113a -≤≤.因此13a ≥-. 又当1=3a -时，代入前面解得，23b c ==.符合题设要求.∴a 的最小值为13-.13.2 14.[0,4) 15.11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.[1,)+∞ 17.解：（1）{}02A x x =≤≤，{}0 2U C A x x x ∴=<>或，若()U C A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩，即0a ≤ ∴实数a 的取值范围是(,0]-∞. （2）若AB B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32a a -<得1a >当B =∅时，1a ≤，∴当B A ⊆，则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦综上故a 的取值花围为1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.解：（1）由题意1,12()2,111,1xx x g x x x x x ⎧--<-⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪+≥⎩，，，x-2-10 1 2()g x32 12 1252图像如下：（2）当1x =-时，min 1()2g x =； 解集：5,(1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 19.解：（1）∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即222121x x a a --=-+++ 整理得(2)2221212x x x xa a a a-+-⋅+-=++则22a aa a -=-⎧⎨=-⎩，解得1a =.2()121x f x ∴=-+. ()f x 的定义域为R ，设12,x x R ∈，且12x x <，()()()()()121212122222221211212x x x x x x f x f x a a ⋅--=--+=++++ 12x x <，12220x x ∴-<，()()1212120x x ++>，()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <，所以()f x 为增函数.（2）2()121x f x =-+，211x +>，10121x∴<<+ 22021x ∴-<-<+，211121x ∴-<-<+，即11()1f x -<<故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-. 另解：2()121xf x =-+. 由2121xy =-+，得(1)21xy y -=--， 当1y =时，得02=-，矛盾，所以1y ≠； 故有121xy y --=-. 当x R ∈时，20x >，所以101y y -->-，解得11y -<<. 故当()f x 为奇函数时，其值域为(1,1)-.20.解：（1）任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，()211f x x ∴->，()()()212110f x f x f x x -=-->，()()21f x f x ∴>.故函数()f x 在R 上单调递增.（2）(3)(1)(2)1(1)1(1)(1)13(1)2f f f f f f f =+-=-++-=-，(1)2f ∴=， 原不等式等价于()()92312x x f f m m ++-⋅->，即()()9231x x f m m f ++-⋅>，故9231x xm m ++-⋅>恒成立，即0x >时，()3191xxm -<+，9131x x m +<-.设31xt -=，则0t >，且291(1)122231x xt t t t+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立。