反比例函数与几何综合（讲义）
➢课前预习
前期学习一次函数与几何综合问题时，解决思路是将坐标、几何图形和一次函数综合起来分析、转化．如：坐标与线段长互转，由坐标求解表达式，根据函数表达式计算坐标等，请尝试解决下列问题，并体会整个解决问题的过程：
如图，已知直线l1：y =2
x +
8
与直线l2：y=-2x+16 相交于点
3 3
C，直线l1，l2 分别交x 轴于A，B 两点，矩形DEFG 的顶点D，E 分别在l1，l2 上，顶点F，G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合，那么S 矩形DEFG:S△ABC = ．
解决一次函数与几何综合问题的核心在于：找坐标，转线段长，借助几何或函数特征建等式求解．
1
➢知识点睛
反比例函数与几何综合的处理思路：
1
.从关键点入手．“关键点”是信息汇聚点，通常是和的．通过和
的互相转化可将与综合在一起进行研究．
2.梳理题干中的函数和几何信息，依次转化．
3.借助或列方程求解．
与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用．
结论：S
矩形ABCO = 2S
△ABO
=| k | 结论：S
△OCD
=S
梯形ABCD 结论：AB=CD
结论：BD∥CE 函数几何特征常见转化作法：
1.函数→坐标→几何
①借助表达式设出点坐标；
②将点坐标转化为横平竖直线段长；
③结合几何特征利用线段长列方程．
2.几何→坐标→函数
①研究几何特征，考虑线段间关系；
②通过设线段长进而表达点坐标；
③将点坐标代入函数表达式列方程．若(x1，y1)，(x2，y2)是同一反比例函
数上的点，则：
①当x1，y1，x2，y2 都用同一字母表达出来时，往往利用x1y1=x2y2=k 列方程求解．
②当两点的横坐标有比例关系时，对应的纵坐标也有比例关系．这样的比例关系常通过横平竖直的线段放在相似三角形中使用．
如：
x
1 =
y
2
x
2
y
1
3 ➢ 精讲精练
1.
如图，A ，B 是双曲线 y = k
（k ＜0）上的点，且 A ，B 两点的
x
横坐标分别为 a ，2a ，线段 AB 的延长线交 x 轴于点 C ．若S △AOC =6，则 k =
．
第 1 题图
第 2 题图
2.
如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 y = 1
图象的一个
x 分支，第二象限内的图象是反比例函数 y = - 2
图象的一个分
x
支，在 x 轴上方有一条平行于 x 轴的直线 l 与它们分别交于点A ，B ，过点 A ，B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C ，D ．若四边形 ACDB 的周长为 8，且 AB ＜AC ，则点 A 的坐标是 ．
3.
如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = 2
的图象上，
x
第二象限内的点B 在反比例函数 y = k
的图象上，且OA ⊥OB ，
x
OB
= ，则 k 的值为 ． OA
第 3 题图
第 4 题图
4.
如图，反比例函数 y = k
（x > 0）的图象经过矩形 OABC 对角
x
线的交点 M ，分别与 AB ，BC 相交于点 D ，E ．若四边形 ODBE 的面积为 6，则
k
的值为
．
5.如图，正方形
OAPB 的顶点
B 以及等腰直角三角形AFD 的顶
点A，D 在坐标轴上，点P，F 在函数y =
9
（x > 0 ）的图象
x
上，则点F 的坐标为．
第5 题图第6 题图
6.如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都
在函数y =
1
（x > 0 ）的图象上，则点E 的坐标是．
x
7.如图，直线y =kx - 2 （k > 0 ）与双曲线y =
k
在第一象限内
x
的交点为R，与x 轴的交点为P，与y 轴的交点为Q．作RM ⊥x 轴于点M，若△OPQ 与△PRM 的面积之比为4:1，则k= ．
第7 题图第8 题图
8.如图，直线y =
4
x 与双曲线y =
k
（x＞0）交于点A ．将直线y =
4
x
3
3
向右平移
9
2
x
个单位后，与双曲线y =
k
（x＞0）交于点
x
B ，与x 轴交于点
C ，若
AO
= 2 ，则k= ．
BC
9.如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC ，∠CAB=90°，
AB=AC，A(-1，0)，B(1，1)，将△ABC 沿x 轴的正方向平移，在第一象限内B，C 两点的对应点B1，C1 正好落在反比例函
数y =k
的图象上，则k= ．x
10.如图，双曲线y =k
经过点A(2，2)与点B(4，m)，则△AOB x
的面积为．
11.如图，平行四边形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A，C
在反比例函数y =k
（x＞0）的图象上，点 A 的横坐标为4，x
点 B 的横坐标为6，且平行四边形OABC 的面积为9，则k 的值为．
12.反比例函数y
1=
1
，y
x 2
=
3
在第一象限内的图象如图所示，过
x
y2 上的任意一点A 作x 轴的平行线，交y1 于点B，交y 轴于点C，过点A 作x 轴的垂线，交y1 于点D，交x 轴于点E，
连接BD，CE，则BD
= ．CE
13.如图，一次函数y =ax +b 的图象与x 轴，y轴交于A，B 两点，
与反比例函数y =k
的图象交于C，D 两点，过C，D 两点分x
别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：①△DEF 与△CEF 的面积相等；
②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．其中正确的结论序号是．
6
【参考答案】 ➢ 课前预习
8:9
➢ 知识点睛
1. 函数图象；几何图形；交点；关键点坐标；
横平竖直的线段长；函数特征；几何特征 3. 函数特征；几何特征
➢ 精讲精练
1. -4
2. ( 1 ，3)
3 3. -6 4. 2
5. ( 3 + 3 5 ， -3 + 3 5 )
6. ( 1+
2 2 5 ， -1+ 5 )
2 2 7. 3
8. 12 9. 6 10. 3 11. -6 12.
2 3
13. ①②④。