表9.2
f(x)的类型 f(x)=exPm(x) 为常数. f(x)=ex(Acosωx +Bsinωx) ,ω,A,B为常数. 取试解函数条件 试解函数y*的形式 y*=exQm(x) 不是特征根 是单特征根 是重特征根 iω ±iω不是特征 根 ±iω是特征根 y*=xexQm(x) y*=x2exQm(x)
注
y*=ex(Acosωx+Bsin ωx) y*=xex(Acosωx+Bsi nωx) Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am为已 知m次多项式 Qm(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm-1x+bm为待 定m次多项式
例9.14 求方程 y'' 7y' +10y =12的通解. 解 例9.11已求出对应齐次方程的通解为 yc=C1e2x+C2e5x 下面求非齐次方程的一个特解.因f(x)=12,对应 于表9.2中=0(不是特征根),Pm(x)=12(零次多 项式).故设特解为y*=A,A为待定常数.将y*=A 代 入 所 给 方 程 的 A=6/5. 因 此 , 所 求 特 解 为 y*=6/5.于是,所给方程的通解为 y=yc+y*=C1e2x+C2e5x+6/5 其中C1,C2为任意常数.
其中C1,C2为任意常数.
2x
二,二阶常系数非齐次线性方程的通解 根据定理9.2(2),求非齐次线性方程(9.41)的 通解,归结为求(9.41)的一个特解y,及其对应齐次 方程(9.42)的通解y,则y=yc+y*即为(9.41)的通解.上 面已介绍求对应齐次方程(9.42)通解的办法,剩下 的问题是如何求非齐次线性方程(9.41)的一个特 解.
其中b0,b1为待定常数.将y*代入所给方程,可得 (6b0x+2b1)ex=12xex 由此得3b0x+b1=6x,此式对任意x恒成立,故有 b1=0,b0=2.因此,特解为y*=2x3ex.于是,所给方程 的通解为 y=(C1+C2x)ex+2x3ex=(C1+C2x+2x3)ex 其中C1,C2为任意常数.
(1) △>0时,特征根为相异实根: 1 λ1 = (a + ), λ2 = (a ) 2 这时齐次方程(9.42)有两个特解 y1 = eλ1x , y2 = eλ2x
(9.45)
y1 (λ λ2 ) x =e 1 =e 因 y2
解为
x
≠ 常数
故特解y1和y2线性无关.因此,方程(9.42)的通
显然,函数y=eλx是方程(9.42)的解的充分必要 条件是,常数λ为特征方程(9.43)的解,即λ为特征根.
由上述分析可知,求方程(9.42)特解的问题转 化为求特征方程(9.43)的根的问题. 因特征方程(9.43)是λ的二次代数方程,故可 能有两个根,记为λ1, λ2.下面根据判别式 > △=a2-4b=0 < 的三种不同情况,分别进行讨论. (9.44)
注意: (1)上面介绍的二阶常系数线性微分方程的求解, 可推广到一般的n阶常系数线性微分方程. (2)求常系数非齐次线性方程特解的待定系数法, 我们用列表方法给出设特解的原则,要记住这 , 些表既不可能,也没有必要.实际上,只需记 住以下原则即可:
设特解 y*(t) =(t) 与f(t)具有相同的结构形 式,并将(t) 代入方程,若遇到麻烦(不能确定 (t) 中 的待定常数),则该设特解为y*(t) = t(t) ,再代入方 程,若仍遇到麻烦,则再改设特解为 y*(t) = t (t) ,
第五节 二阶常系数线性微分方程
一,二阶常系数齐次线性方程 (9.42)的通解 的通解 二,二阶常系数非齐次线性方 程的通解
二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式为 x'
y'' + ay' + by = f (x)
(9.41)
其中a,b为已知常数,f(x)为已知函数.称f(x)为方程 (9.41)的非齐次项.方程(9.41)的对应齐次方程为
y'' + ay' + by = 0
(9.42)
二阶常系数齐次线性方程(9.42)的通解 一,二阶常系数齐次线性方程 的通解 设方程(9.42)有特解y=eλx,其中λ为待定常数.将
y = e , y' = λe , y'' = λ e
λx λx
2 λx
代入方程(9.42),得 (λ+aλ+b)eλx=0 由于eλx≠0,故由上式得 λ2+aλ+b=0 (9.43) 称代数方程(9.43)为方程(9.42)或(9.41)的特征方 程,特征方程(9.43)的解称为特征根或特征值.
3x
例9.16 求方程y'' 4y' +13y =145sin2x的通解. 解 例9.13已求出对应齐次方程的特征根为 λ1,2=2±3i 而齐次方程的通解为 yc=(C1cos3x+C2sin3x)e2x 因 f(x)=145sin2x, 故 对 应 于 表 9.2 中 =0,ω=2 (±iω=±2i不是特征根);A=0,B=145.因此,设 特解为
2
代入方程必能确定特解.否则,计算过程肯定有误.
�
yc = yc (x) = C1e +C2e
λ1x
λ2x

(9.46)
其中λ1,λ2由式(9.45)确定,C1,C2为任意实数.
(2)△=0时,特征根为重根: λ=λ1=λ2=-a/2 (9.47) 因此,(9.42)有一个特解,y1=eλx.直接验证可知, y2=xeλx 是(9.42)的另一特解.因y1/y2=1/x≠常数, 故y1与y2线性无关.因此,方程(9.42)的通解为
注意: 对于f(x)=acosωx或f(x)=Bsinωx,不能设试解 函 数 为 y*=A1cosωx 或 y*=A2sinωx, 而 仍 应 设 y*=A1cosωx+A2sinωx,如上例所示.
例9.17 求方程 y'' 2y' + y =12xe 的通解.
x
解 特征方程为 λ2-2λ+1=(λ-1)2=0 故有重特征根λ=1,从而对应齐次方程的通解 为 yc=(C1+C2x)ex 下面求所给方程的特解.由于f(x)=12xex,对照 表9.2可知,=1为重特征值,Pm(x)=12x为一次 多项式.因此,由表9.2可知,应设特解为 y*=x2(b0x+b1)ex
求非齐次线性方程(9.41)特解的一个常用的 有效方法是"待定系数法".其基本思想是,用与 (9.41)中非齐次项f(x)形式相同但含有待定系数 的函数,因为作为(9.41)的特解,称为试解函数.然 后,将试解函数代入(9.41),确定试解中的待定系 数,从而求出(9.41)的一个特解.
自由项f(x)的常见形式有如下两类:
例9.11 求方程 y'' 7y' +10y = 0的通解. 解 特征方程为 λ2 - 7λ+10=(λ-2)(λ-5)=0 故有两个相异的特征根λ1=2,λ2=5.因此,所给 方程的通解为
yc = C1e + C2e ,(C1,C2 为任意常数 )
2x 5x
例9.12 求方程 y'' + 6y' + 9y = 0 的通解. 解 特征方程为 λ2+6λ+9=(λ+3)2=0 故有重根λ=-3.因此,所求方程的通解为
(1) f (x) = e P (x), m
(2) f (x) = e ( Acosωx + Bsinωx)
x
x
其中,ω,A,B为常数,Pm(x)的m次多项式,即 Pm(x)=a0xm+a1xm-1+…+am-1x+am ,a0≠0. 当非齐次项f(x)为上述两类函数时,设试解函 数的原则列于表9.2.
y2 = eαx sin β x
是方程(9.42)的两个线性无关的特解.因此,方
yc = eax (C1 cos β x + C2 sin β x)
(9.50)
其中α,β由式(9.49)确定.C1,C2为任意实数.
综上所述,求齐次方程(9.42)通解的步骤是: (1)写出特征方程(9.43); (2)求特征方程(9.43)的根; (3)由求出的特征根写出通解,见表9.1. 表9.1 特征方程 特征根 通解 相异实根λ1≠λ2 λ1x λ2x yc = C1e + C2e 重实根 λ2+aλ+b=0 λx yc = (C1 + C2x)e λ=-a/2 yc = (C1 cos β x 共轭实根 + C2 sin β x)eαx λ1,2=α±iβ
例9.15 求方程 y'' + 6y' + 9y = xe 的通解.
x
解 例9.12已求出对应齐次方程的通解为 yc=(C1+C2x)e-3x 因f(x)=xex,故对应于表9.2中=1(不是特征根), Pm(x)=x(一次多项式).故设特解为 y*=ex(b0x+b1),b0,b1待定系数. 将上式代入所给方程,得 (16b0x+8b0+16b1)ex=xex 由此可得 16b0x+8b0+16b1=x
yc = (C1 + C2x)e ,(C1,C2 为任意常数)
3x
例9.13 求方程 y'' 4y' +13y = 0的通解. 解 特征方程为 λ2 - 4λ+13=(λ-2)2+9=0 有一对共轭复根,λ1,2=2±3i.因此,所求方程的 通解为