第三章 能量原理(习题解答)3-1 写出下列弹性元件的应变能与余应变能的表达式。

(a)等轴力杆;(b)弯曲梁;(c)纯剪矩形板。

解:(a)等轴力杆 应变能{}{}2220111()2222T VV VEf U AdV d dV dV E Lf E Lf L L εσεεσεε∆∆⎡⎤======⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰余应变能22*21()2222V V fL fL N N L U BdV dV E E f Efσεσ=====⎰⎰其中L 为杆的长度,f 为杆的截面积,Δ为杆的变形量,E 为材料的弹性模量。

(b)弯曲梁 应变能{}{}{}{}222222222220111()()22211()()22TTx V V V V l V d w d w U dV dV z dV Ez dVdx dxd w d w E z dydzdx EJ dx dx dxσεσεσ==-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰线性余应变能222*220111111()2222l x x V V V My M y M U dV dV dzdydx dx J E E EJJ σε===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(c)纯剪矩形板 应变能{}{}t b a G dV G dV dV U V V VT⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅==⎰⎰⎰22212121γγγτεσ 余应变能Gtfq t b a G dV G dV U V V 222*21212121=⋅⋅⋅==⋅=⎰⎰ττγτ3-2 求图3-2所示桁架的应变能及应变余能,应力—应变之间的关系式为 (a) E σε=(b) σ=解:取节点2进行受力分析,如图3-2a 所示。

根据平衡条件,有132131122113cos 45cos 45sin 45sin 4522N N P N N P N N ︒︒︒︒⎧+=⎨=+⎩⇒== (1)311313N Nf f σσ== (2)(a) E σε=时311313N N Ef Ef εε==(3) 0VU AdV fl d εσε==⎰⎰ (4) 0VU BdV fl d σεσ*==⎰⎰ (5)联立(1)、(2)、(3)、(4),得到桁架的应变能为()()2222121231131322P P P P N N l l U f f f f ⎤+-⎫=+=+⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦联立(1)、(2)、(3)、(5),得到桁架的余应变能为()()222212123113132224P P P P N N l l U E f f E f f *⎡⎤+-⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(b) σε=时223113222213N N E f E f εε== (6)联立(1)、(2)、(4)、(6),得到桁架的应变能为()()331221222133P P P P l U E f f ⎡⎤+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦联立(1)、(2)、(5)、(6),得到桁架的应变能为()()331221222136P P P P l U E f f *⎡⎤+-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-3 一种假想的材料遵循如下二维的应力—应变规律()()222x x y y y x xy xy EE εσμσεσμσγτ=-=-= 其中E 、G 与μ就是材料常数。

导出用这种材料做成的二维物体的应变能密度。

解:应变能密度A d εσε=⎰余应变能密度B d σεσ=⎰总应变能密度()33312x T x y xy y xy x x y y xy xyxy x y x y A B E Gσεεγστσεσετγτσσμσσ⎡⎤⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦=++=+-+而()()022233311112333x y xyxyxyxy x x y y xy xyxy x yx y xy x y x y xy B d d d E d E d G d E Gσστσστεσεσγτσμσσσμσσττσσμσστ=++=-+-+⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以应变能密度为 ()()333333333()1111122333213xy x y x y x y x y xy xy x y A A B BE G E G E G τσσμσσσσμσσττσσ=+-⎛⎫=+-+-+-- ⎪⎝⎭⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3-4 试用虚位移原理或最小位能原理确定题3-4图所示平面桁架的节点o 的位置与各杆内力。

各杆材料相同,弹性常数为E 。

N P 4110=,N P 32105⨯=,各杆截面积215.1cm f =,222cm f =,233cm f =。

解:设o 点的位移为u 、v ,则各杆的变形量如下: o-1杆:)(22sin cos 1v u v u +=+=∆θθ o-2杆:v =∆2o-3杆:)(22sin cos 3v u u +-=+-=∆θθ系统位能v P u P l v u Ef l v Ef l v u Ef v P u P l Ef V U i i i 2123222121224)(224)(2--+-+++=--∆=+=∏∑令0=∏δ,则0=∂∏∂u ,0=∂∏∂v,从而:[][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--+=--++0)()(220)()(222231131P v l Ef v u f v u f lE P v u f v u f l E 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯=⨯=E l v E l u 2410251081025344 由∆=lEfN ,得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=∆==∆==∆=Nl Ef N N l Ef N N l Ef N o o o 6480417076603333222211113-5 试用最小位能原理导出承受均布载荷q 的弯曲等截面梁(图3-5)的平衡方程式。

解:由教科书例3-2知42304230()[]|0ll d w d w d w d wEJ q wdx EJ EJ w dx dx dx dxδδδδ∏=-+-=⎰悬臂梁的边界条件为:在0x =处,0w =,0dw dx= 在x l =处,剪力0Q =,弯矩0M = 又知dwu zdx =-(直法线假设) 22x u d w z x dxε∂==-∂22x x d wE Ez dxσε==-2222t t x d wM zdz EJ dx σ-=⋅=-⎰在x l =处,弯矩0M = 所以,当x l =时,220d wdx = 又知()()dM x Q x dx= 所以33dM d w Q EJ dx dx==-在x l =处,剪力0Q =所以,当x l =时,330d wdx=由以上,如果0δ∏=则有受均布载荷悬臂梁的平衡方程为44d wEJ q dx-＝03-6 试用最小余能原理求解图3-6所示圆框的弯矩表达式,并给出弯矩图。

圆框的截面弯矩刚度为EJ 、sin Pq Rαπ=。

解: 根据圆框的对称性可知,在图3-6a 的受力分析图中,只有轴力与弯矩,而无剪力。

取右半部分的一段进行受力分析如图3-6a 所示。

根据平衡条件,可得到弯矩表达式()00000(1cos )sin 1cos 1(1cos )1cos sin 2PRM M N R d PR M N R ααθαθθπααααπ=-----⎡⎤⎣⎦⎛⎫=-----⋅⎪⎝⎭⎰余应变能2*22M U Rd EJπα=⎰外力余能*0V =故**U ∏=根据最小余能原理*000020012MRd M EJM N R PR παππ∂∏=⇒=∂⇒--=⎰(1)*000020(1cos )03728MRR d N EJM N R PR πααππ∂∏=⇒-=∂⇒--=⎰ (2)联立(1)、(2)解得00344PR P M N ππ=-=-则圆框截面的弯矩为11cos sin 22PR M αααπ⎛⎫=---⋅ ⎪⎝⎭3-7 试用瑞利—李兹法确定图3-7所示梁的点A 处横向挠度。

解:梁两端简支,其位移边界条件为 0202|0|0x x w d wdx ===⎧⎪⎨=⎪⎩, 22|0|0x L x L w d w dx===⎧⎪⎨=⎪⎩ 选取正弦函数为基函数,取前两项,则122sin sinx xw a a L Lππ=+ 梁的应变能为24222122301()(16)24L d w EJ U EJ dx a a dx Lπ==+⎰ 梁的外力势能1212002()(sin sin )2L L qa L qa L x x x V Pwdx q a a dx L L L ππππ=-=-⋅+=+⎰⎰梁的总位能42212123(16)42qa L qa L EJ U V a a L πππ∏=+=+++ 由最小位能原理0δ∏= 413102EJqLa a L ππ∂∏=+=∂ ⇒4152qL a EJ π=- 423232042EJ qLa a L ππ∂∏=⋅+=∂ ⇒42516qL a EJ π=- 因此445522sin sin 16qL x qL xw EJ L EJ Lππππ=-- 当23x L =时451.678qL w EJπ==-3-8 沿直平面内的正方形薄板,边长为2a,四边固定,只受重力g ρ作用,如图3-8所示。

设0μ=,试取位移分量的表达式为22221232222222212322221111x y x y x y u A A A a a a a a a x y x y v B B B a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭用瑞利—李兹法或伽辽金法求解。

解:运用伽辽金法求解。

本题中的四边形薄板四边固支,因此就是一个平面应力问题。

其基本方程为()2222222222221101221101221,2,3m m E u u v X u dxdy x y x y E v v u Y v dxdy y x x y m μμμμμμ⎡⎤⎛⎫∂-∂+∂+++=⎢⎥ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫∂-∂+∂+++=⎢⎥ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰⎰ (1) 当只取1A 项与1B 项时,位移分量的表达式为22122221221111x y x y u A a a a a x y v B a a ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222112242242222112222222222112224661,1221,133411,u y xy u x xy A A x a a y a a v y v x B B x a a y a a A u x y v xyB x y a a a x y a⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂∂=--= ⎪⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ (2) 因为0,0,X Y g μρ===,所以(1)式可简化为2221222221221102211022aaa a a a a a u u v E u dxdy x y x y v v u E g v dxdy y x x y ρ----⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎡⎤⎛⎫∂∂∂+++=⎢⎥ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰ (3)22122221221111x y x y u a a a ax y v a a ⎧⎛⎫⎛⎫=--⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩将11,u v ,及(2)式代入(3)式,得2211242422142222211222222616112141102212112133112aaa a aaa a y xy x xy A A a a a a xy x y xy B dxdy a a a a x y B B a a a a x a ----⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎤+--=⎢⎥ ⎪⎪⎥⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰22212222110A y g x y dxdy a a E a a ρ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎦即2222222222122222222122222222222611311211013311112a a a a aaa ay x x y x y x y dxdy A a a a a x y x y dxdy B a a x y x y a a a a a ----⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪------⋅⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+--⋅=⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎰⎰⎰⎰122222212222222222111111a a a a a a a a a aa a dxdy A x y y x dxdy B a a a a a gx y dxdy E a a ρ------⎧⎫⎪⎪⋅⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎭⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪+------⋅⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰简化为11211210792417553A B ga A B E ρ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 由此解得22110.164,0.422ga ga A B E Eρρ==代入位移表达式,得2222222220.164110.42211g x y u xyE a a ga x y v E a a ρρ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由物理方程,得222222222222221753(1)(1)11066450(1)153********(1)(1)(1)2(1)2132533x y xy E u v x y gy x y a aE v u x gy y x aE u v x y y gx gx y x a a aσμρμσμρμτρρμ⎛⎫∂∂=+=-- ⎪-∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=+=-- ⎪-∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂=+=---- ⎪+∂∂⎝⎭3-9 用李兹法求解受均布载荷作用双简支梁的最大挠度与最大弯矩,挠度函数选下列两种形式,比较其计算结果。