结论：如果模拟滤波器是稳定系统，即系统函数 H a (s) 的极点 si 全部在左半平面， Re( si ) 0 。采用冲击响应不变法所得到的 数字滤波器系统函数 H (z) ，系统极点 zi esiT 将全部在单位圆
内。系统函数收敛域：
ROC : z zi esiT eRe(si )T 1 ，为包括单位圆的圆外区域。
以使用预畸方法来解决畸变。
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s c
| H(j)|
c
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低通滤波器
s
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| H(ej)|
CT
tg(
) 2
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| H(j)|
s
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c s
| H(ej)|
高通滤波器
CT
tg()
2
c
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结论：
1、通过双线性变换式：
H
(z)
H
(s)
|
s
CT
1 1
H (z) h(n) • zn n
H a (s) ha (nT ) • esTn n
Z域表示
S域表示
因为 h(n) ha (nT ) ， H a (s) H (z) |zesT
z esT
s
1 T
ln(
z)
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对于 S 平面任意点： s x jy ，代入映射关系得对应 Z 平面上的点为：
数字滤波器和模拟滤波器的频率特性关系为：
H (e j ) H a ( j jks ) k
s
2
T
特点： * 冲击响应不变法所得的数字滤波器特性为模拟原型滤波器特性的周期性平 移叠加。 * 根据采样定理，当模拟滤波器的频率特性（幅度）为有限带宽，并且带宽 小于采样频率的二分之一 时，数字滤波器可以在主周期保持模拟滤波器的特 性。否则会产生混叠误差。 * 所以冲击响应不变法只能用于设计低通、带通之类的幅度频率特性为有限 带宽的滤波器，并且总是会有混叠误差存在。所以，要求原型模拟滤波器的 幅度频率特性在主周期带宽内有比较大的阻带损耗。
有理分式，则变换所得的数字滤波器系统函数 H (z) 是 z1 的有理分式。它是
否是一个因果稳定的 LTI 系统，需要对映射关系进行分析。
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6.6.2 双线性变换的映射关系：
1、s平面与 z平面的映射关系：
设常数 T 2
CT
，双线性变换可转换为：
z
CT s CT s
。
对于 S 平面上的任意点： s x jy ，经变换得：
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6.5.2 冲击响应不变法的变换公式：
设原型模拟滤波器的传递函数为 Ha (s) ，部分分式展开：
Ha (s)
N i 1
s
Ai si
si 是系统极点。
N
模拟滤波器冲击响应为： ha (t) L1 (H (s)) Ai e sit u(t) i 1
N
数字滤波器冲击响应为： h(n) Tha (nT ) AiesinT u(nT ) i 1
率坐标变换关系：
CT
tg (
2
)
变换到模拟频率点（
c
,
s
, 1, 2
等）。根据 c , s , 1, 2 等特征频率点上的设计指标来设计模拟原型滤
波器
H (s) ，再由双线性变 换
s CT
1 z 1 1 z 1
得数字滤波器系统函数
H (z) 。这样两次变换畸变抵消，可以保证数字滤波器在指定的特征频率
所以，用冲击响应不变法所得到的数字滤波器也是因果稳定的。
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6.5.4 冲击响应不变法设计步骤
1、按照给定的数字滤波器的设计指标，利用模拟滤波器设计技术设
计原型模拟滤波器，得 H a (s) 。（如果是非低通滤波器则需进行变换）
2、把 H a (s) 分解成部分分式求和形式 H a (s)
频率 500Hz。 选择滤波器逼近函数为 Butterworth 二阶函数；
查表得：
H ( p)
1
11.414 ( p ) ( p )2
c c
c 2fc 100 red/sec，代入得：
H (s) 1 1.414(
1 s )(
s
)2
s2
9.87 104 444.3s 9.87104
100 100
压缩到 (2k 1) (2k 1) 数字滤波器特性。
由频率坐标变换关系：
CT
tg( )
2
。当
较小时： tg(
2
)
2
。
同时数字角频率与模拟角频率的关系为 ' T 。
'T CT 2
，为了使 较小时频率坐标一致，需要取： CT
2 T
取不同的比例常数可以改变频率坐标关系。但该比例常数不容易选定，可
H
(
z)
1
1.16
0.245 z 1 z 1 (0.411)
z
2
画出实现流程图。
x(n)
Z 1
1.16 0.245
y(n)
Z 1
0.411 0
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6.6 双线性变换法 6.6.1 变换关系式及其特征：
考察模拟滤波器传递函数 H a (s) ，一般通过设计可以得到满足设计
指标的一个逼近有理分式：
M
ak sk
Ha (s)
k 0 N
。它与数字滤波器
bi si
i0
的差分方程形式类似，以积分单元 s1 为基本构成。
对积分单元 H I (s) s1 ， hI (t) L1(s1) u(t) 。
t
t
其输入、输出信号关系为： y(t)
0 x(t )hI ( )d
的周期化，所以在设计模拟滤波器时应该使得 s 2（s 为数字系
统的采样角频率）的幅度频率特性足够小，以满足混叠误差要求。
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例：已知数字系统采样频率为 500Hz。要求所设计的低通数字滤波器的 3dB 截止 频率为 50Hz。求一个二阶数字低通滤波器的实现方案。
解：[1] 根据题义，数字滤波器设计指标为：截止频率 50Hz；阶数 k=2；采样
N
H (z) T h(n) zn T Ai (esiT z1)n u(n)
数字滤波器系统函数：
n0
i1 n0
T
N i 1
1
Ai e siT
z 1
ROC :| z || esiT |
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6.5.3 冲击不变方法的z↔s映射关系
比较冲击响应序列Z变换与S变换的关系：
模拟滤波器频率特性： H a ( j) H a (s) | s j 数字滤波器频率特性： H (e j ) H (z) | z e j
代入变换关系式： s CT
1 z 1 1 z 1
CT
z 1 z 1
e j 1
j C e j
1
jC • tg
2
，即
C tg 。
2
由正切函数的性质得：
数字信号处理
第六章
数字信号处理多媒体教学系统
版权所有：yuning
IIR数字滤波2003。器3 第2版的理论与设计
（第 3 部分）
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6.5 冲击响应不变法： 6.5.1 变换原理：
冲击响应不变法就是使数字滤波器的冲击响应序列 h(n) 等于原型
模拟滤波器的冲击响应 ha(t)的采样值。 即 h(n) T ha (nT ) 。
M
H (z)
T
N i 1
Ai 1 esiT z 1
ak z k
k0 N 1 bi z i
。
i 1
给出实现计算流图。
说明： *因为冲击响应不变法的模拟和数字频率坐标是线性变换的，所以数字 滤波器的设计指标可以直接用于模拟滤波器的设计。 *冲击响应不变法设计的数字滤波器频率特性是模拟滤波器的频率特性
z esT exT e jyT e j ，即 z exT ， yT 。
所以对于 S 平面上左半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位 圆内 1的点；右半平面的点 x 0 ，映射为 Z 平面上单位 圆外 1 的点。而 S 平面虚轴 x 0 ，映射为 Z 平面上单位 圆上 1 的点。
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定义变换式：
s
2 T
1 1
z 1 z 1
为双线性变换，
M
ak sk
对于一个模拟滤波器系统函数
H a (s)
k 0 N
，通过变换可得到相应的
bisi
i0
数字滤波器系统函数：
H (z)
Ha(s) |
s
2 T
1 1
z 1 z 1
。
说明：双线性变换是针对基本单元 s1 得出的，如果模拟滤波器的逼近函数是
而 S 平面虚轴 x 0 ，映射为 Z 平面上单位圆上 1 的点。
如果模拟原型滤波器因果稳定，系统函数 H a (s) 的所有极点
si
在 S 左半平面。则双线性变换后的数字滤波器极点 zi
CT CT
si si
在单位圆内，所以数字滤波系统也是因果稳定的。
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2、双线性变换的频率坐标关系：
z 1 z 1
把模拟滤波器特性（
）按
CT
tg (