第节导数的综合应用
【选题明细表】
1.已知函数f(x)=2+m+ln 是单调递增函数,则m的取值范围是( B )
(A)m>-2(B)m≥-2
(C)m<2 (D)m≤2
解析:函数定义域为(0,+∞),
又f'(x )=2+m+.
依题意有f'(x)=2+m+≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴m≥-恒成立,设g(x)=-,:
则g(x)=-≤-2,
当且仅当=时等号成立.
故m≥-2,
故选B.
2.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式e·f(x)>e+1的解集为( A ):
(A){ x |>0} (B){ x |<0}
(C){ x |<-1或>1} (D){ x |<-1或0<<1}
解析:构造函数g(x)=e·f(x)-e,
因为g'(x)=e·f(x)+e·f'(x)-e
=ef(x)+f'(x)-e>e-e=0,:,,.:§§
所以g(x)=e·f(x)-e为R上的增函数.
又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,
所以原不等式转化为g(x)>g(0),
解得>0.
故选A.
3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A.
4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正
数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B )
(A)(B)
(C)(-1,0) (D)(-∞,-1)
解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)<f(4),又由f'(x)≥0,得f(x)为增函数,所以a+2b<4,而a,b为正数,所以a+2b<4所
表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),可看成是
直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以PB<PM<PA,
而PA==3,PB==,所以<PM<3,故选B.
5.已知a≤+ln 对任意∈恒成立,则a的最大值为( A )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:设f(x)=+ln =+ln -1,
则f'(x)=-+=.
当∈时,f'(x)<0,
故函数f(x)在上单调递减;
当∈(1,2时,f'(x)>0,
故函数f(x)在(1,2上单调递增,
∴f(x)min=f(1)=0,
∴a≤0,即a的最大值为0.
故选A.:
二、填空题
6.电动自行车的耗电量y与速度之间有关系y=3-2-40(>0),为使耗电量最小,则速度应定
为.
解析:由y'=2-39-40=0,:。

.
得=-1或=40,:.
由于0<<40时,y'<0;
当>40时,y'>0.
所以当=40时,y有最小值.
答案:40
7.关于的方程3-32-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是.
解析:方程可化为a=3-32,
设f(x)=3-32,
则f'(x)=32-6,
由f'(x)>0,得>2或<0;
由f'(x)<0,得0<<2,:
所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
故f(x)在=0处有极大值,f(0)=0.
在=2处有极小值f(2)=-4.
要使方程有三个不同的实根,则有-4<a<0.
答案:(-4,0)
8.(2012天津模拟)函数f(x)=3+3a2+3(a+2)+1既有极大值又有极小值,则a的取值范围是. :
解析:f'(x)=32+6a+3(a+2),
令32+6a+3(a+2)=0,:
即2+2a+a+2=0.
因为函数f(x)既有极大值又有极小值,
所以方程2+2a+a+2=0有两个不相等的实根,
即Δ=4a2-4a-8>0,
解得a>2或a<-1.
答案:a>2或a<-1
三、解答题
9.(2012银川模拟)设函数f(x)=aln -b2(>0),
(1)若函数f(x)在=1处与直线y=-相切,
①求实数a,b的值;
②求函数f(x)在上的最大值.
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+对所有的a∈,∈(1,e2都成立,求实数m的取值范围. 解:(1)①f'(x)=-2b,
∵函数f(x)在=1处与直线y=-相切,
∴
解得
②f(x)=ln -2,
f'(x)=-=,
当≤≤e时,
令f'(x)>0得≤<1;
令f'(x)<0,得1<≤e,
∴f(x)在上单调递增,在1,e上单调递减,:
∴f(x)ma=f(1)=-.
(2)当b=0时,f(x)=aln ,不等式f(x)≥m+对所有的a∈,∈(1,e2都成立, 即aln ≥m+对所有的a∈,∈(1,e2都成立,:
即m≤aln -对所有的a∈,∈(1,e2都成立,
令h(a)=aln -,
则h(a)为一次函数,m≤h(a)min.
∵∈(1,e2,
∴ln >0,
∴h(a)在a∈上单调递增,
∴h(a)min=h(0)=-,
∴m≤-对所有的∈(1,e2都成立.
∵1<≤e2,
∴-e2≤-<-1,:
∴m≤(-)min=-e2.
10.设a为实数,函数f(x)=e-2+2a,∈R.
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)求证:当a>ln 2-1且>0时,e>2-2a+1.
(1)解:∵f'(x)=e-2,
由f'(x)<0可得,<ln 2;
由f'(x)>0可得>ln 2,
所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln 2),
单调递增区间为(ln 2,+∞).
当=ln 2时,有极小值f(ln 2)=2(1-ln 2+a).
(2)证明:设g(x)=e-2+2a-1,∈R,
于是g'(x)=e-2+2a,∈R.
由(1)知当a>ln 2-1时,
g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意∈R,都有g'(x)>0,
所以g()在R内单调递增.
于是当a>ln 2-1时,对任意∈(0,+∞),
都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,
从而对任意∈(0,+∞),g(x)>0,:++.
即e-2+2a-1>0,
故e>2-2a+1.。