二、直线与平面垂直判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直．
la l b a b a b A
l
l
b

A
a
作用： 判定直线与平面垂直．
记忆：线线垂直，则线面垂直
(2)a , b a b a b ， a （3）
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
平面 的垂线
垂足
l
P
直线 l 的垂面

三．定理探索:线面垂直
线线垂直
判断1:如果一条直线和平面内的无数条直线都 假命题，一组平行线； 垂直,那么这条直线就垂直于这个平面. 判断2:如果一条直线和平面内的所有直线都垂 直,那么这条直线就垂直于这个平面. 真命题，操作困难； 判断3:如果一条直线和平面内的一条直线垂直, 那么这条直线就垂直于这个平面. 假命题; 判断4:如果一条直线和平面内的两条直线都垂 假命题; 直,那么这条直线就垂直于这个平面.
一．问题引入
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 直线与平面的位置关系有 哪几种？
直线与平面的位置关系有 哪几种？ 复习 :直线与平面的位置关系有 哪几种 ?
线在面内
线 面 位置关系
线面平行 线面相交
垂直 斜交
√
线面垂直的实例
线 面 垂 直 最 重 要
不然倒掉
万 丈 高 楼 平 地 起
回顾复习：
两条相交
真命题，用来判定线面 垂直；
四．线面垂直的判定
如果一条直线和平面α内两相交直线都垂直，那么 判定定理 这条直线就垂直于这个平面． 已知：m 、n是α内的两条相交直线 ，l∩α=B ，且l⊥m，l⊥n。 求证：l⊥α 。
使AB = A' B
则AC=A'C, AD=A'D
l A 线段AA'的垂 直平分面
a b
b’
α
O
则过一点O有两条直线b与b 这与过一点有且只有一条直线 与已知平面垂直矛盾 可见假设不成立 a //b
线面垂直的性质定理： 垂直于同一平面的两直线互相平行。
图形语言：
a
b
α
符号语言：
a ，b a // b
例2.已知l ，l ，求证a // . 证明：设l =A，l =B 在内过点A取两条直线a和b l l =A l与a确定一个平面 B l 且B b A 与 相交，设 =c
S
F
G
D
E
B
C
A
四、直线和平面所成的角：
如图所示，一条直线PA和平面 相交，但不垂直，这 条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。 过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO ，过垂 足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。 斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。
b
1、定义
a 都有l a l
lm l n l （m, n ） m n P
2、判定定理
3、推论
a //b, a b
思考：在空间，过一点，有几条直线与已 知平面垂直？过一点，有几个平面与已知直线 垂直？
线面垂直的性质:

b
例题
例1. 有一根旗杆AB高8米，它的顶端A 挂有一条长10米的绳子，拉紧绳子并把 它的下端放在地面上的两点(和旗杆不在 同一条直线上) C、D，如果这两点都和 旗杆脚B的距离是6米，那么这旗杆就和 地面是垂直的，为什么？
A
C
B
D
例2. 如图, PA垂直圆O所在平面, AB是圆O的直径, C是圆周上一点, 求证：BC⊥PC。
P
A
H
C
D
B
线面垂直 线线垂直
例4. 在正方体AC1中，取DD1的中 点E，AC和BD交于O点。 求证：OB1⊥面EAC D1 A1 B1 C1
E
D
O A Bຫໍສະໝຸດ C例5：已知ABCD为矩形，SA 平面ABCD, 过A点作 AE SB于E，过E作EF SC于F， （1）求证：AF SC； （2）若平面AEF SD G，求证：AG SD。
β B α l A a
C
例4 如图，已知 PA 矩形ABCD所 在平面，M、N分别是AB、PC的中点 求证： （1） MN CD; （2）若 PDA 45，求证：MN 面PCD
P E N A M B D
PA
C
例3： 已 知 P是ABC所 在 平 面 外 一 点 ， PA、PB、PC 两两垂直， H是ABC的 垂 心 ， 求 证 ： PH 平 面ABC
△ACD≌ △A'CD （SSS） ∠ACE = ∠A'CE △ACE≌ △A'CE （SAS） AE=A'E ∴ g是AA'的 中垂线， 即 l⊥ g ∴ l⊥ α
C E
m
n
B
D
α
g
A’
定理的用法：
m , n , m n P l lm, ln
线不在多， 重在相交！
例1:过一点和已知平面垂直的直线只有一条.

P
B
B
a
A P
a
A

线 面 垂 直 的 唯 一 性
例2:过一点和已知直线垂直的平面只有一个.
例1.已知a ，b ，求证a //b.
证明： (反证法) 假设a与b不平行 b ， 设求b =O过点O作b// a ， b
l l a，同理l c 在平面 中：l a，l c a //c 又a ，c a //，同理b // 又a b=A //
a


B
c
理论迁移
例3 如图，已知 l , CA , 于点A，CB 于点B， a , a AB, 求证：a // l .
P
A C
O
B
例3 求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那 么另一条也垂直于这个平面. 已知：a//b，a 求证；b 证明：设m是内的任意一条直线
a
m
a a m m b m a // b b m b m