9．正弦电流电路如图题 9-9 所示，已知图中第一只电压表读数为 30V，第二只电压表读数为 60V； 求电路的端电压有效值，并作出相量图。
V1 + R
& U
L
V2
解： 图题 9-9 电路的相量模型及电压相量图如下图所示
+
& U
−
& − + U 1
R
& L U 2
−
+
& U
& U 2
& U 1
由电压三角形可求得电路的端电压有效值
习题九
1．正弦电流电路如图题 9-1 所示，N0 内部不含独立源，若端电流 i 和端口电压 u 分别为以下几种情 况，求各种情况时 N0 的阻抗和导纳。 （1） u = 150 cos(8000 π t + 20 ) V ， i = 3 sin(8000 π t + 38 ) A （2） u = 20 cos(1000 π t + 60 ) V ， i = 10 cos(1000 π t + 15 ) mA （3） u = 220 2 cos(314 t ) V ， i = −2 2 cos(314 t − 60 ) A
14．正弦电流电路如图题 9-14 所示，已知 u s = 64 cos(8000 t ) V ，求 uo(t)。
31.25nF + us 2kΩ uo 500mH
图题 9-14 解：
& = 64∠0 o V U sm
−j
1 1 =−j = − j 4Ω ωC 31.25 × 10 −6 × 8000
2 U = U 12 + U 2 = 30 2 + 60 2 = 67.08V
10．正弦电流电路如图题 9-10 所示，已知图中各电压表读数分别为：第一只 15V，第二只 80V，第三 只 100V。求电路的端电பைடு நூலகம்有效值，并作出相量图。
V1 + R
& U
V2 L C V3
图题 9-10 解：电路的相量模型及电压相量图如下图所示
o o o o o
i u N0
图题 9-1 解： （1）
& = 150∠20 o V U m
i = 3 sin(8000πt + 38 o ) A = 3 cos(8000πt − 52 o ) A
& = 3∠ − 52 o A I m
Z= & U 150∠20 o m = = 50∠72 o Ω o & I m 3∠ − 52 & I 1 m = ∠ − 72 o S & 50 U m & = 10∠15 o mA I m
+ us -
i R
图题 9-6
L
C
解：
& I
+ & U S
& I R
R
& I L
j ωL
−
& I C 1 −j ωC
ω = 2π × 500 = 1000π rad s
& = 35∠0 o V U s −j 1 1 =−j = − j 0.0159S ωL 1000π × 20 × 10 −3
jωC = j1000π × 10 × 10 −6 = j 0.0314S
I2 = 0
第 2 个电流表的读数为 第 1 个电流表的读数为
I1 =
U 220 = = 2A Z 110
& 及电路入端阻抗 & 、I 13．图题 9-13 电路中，U=8V，Z3=1- j0.5Ω，Z1=1+ j1Ω，Z2=3- j1Ω。求电流 I 1 2
和导纳。
+ Z3
& U
& I 1
& I 2
+ A1
R
A2
C1 R
L C2
u
图题 9-12
解：
jωL = j 250Ω 1 1 = = 200Ω ωC1 250 × 20 × 10 −6 1 1 = = 50Ω ωC 2 250 × 80 × 10 −6 jωL − j
等效入端阻抗
1 1 −j = j0 ωC1 ωC 2 Z = R + R // j 0 = R = 110Ω
Z3
解：
Z=
1 1 = 1 1 1 1 1 1 + + + + o o Z 1 Z 2 Z 3 1606∠51 977∠ − 33 953∠ − 19 o
=
1 = 438.57∠ − 10.49 o Ω −4 (22.42 + j 4.1518) × 10
& 33∠0 o & = Us = I = 75.24∠10.49 o mA o Z 438.57∠ − 10.49
Y=
（2）
& = 20∠60 o V U m
& U 20∠60 o m Z= = = 2∠45 o kΩ o & Im 10∠15 Y=
（3）
& I m = 0.5∠ − 45o mS & Um
& = 220∠0 o V U i = −2 2 cos(314 t − 60 o ) = 2 2 cos(314 t + 120 o ) A & = 2∠120 o A I
等效入端导纳
Y=
1 = 0.5S Z
o & & = U = 8∠0 = 4∠0 o A I Z 2
& = I 1 & = I 2
Z 2 & 3 − j1 I= × 4 = 3 − j1 = 3.16∠ − 18.43o A Z1 + Z 2 4 Z 1 & 1 + j1 I= × 4 = 1 + j1 = 1.41∠45 o A Z1 + Z 2 4
7．正弦电流电路如图题 9-7 所示，已知 Z1 = 70.7∠45°Ω ， Z 2 = 92.4∠330°Ω ， Z 3 = 67∠60°Ω ，
& = 100∠0°V ，求 I & 并画出电源电压和电流的相量图。 U s
& I
+
& U s
Z1
Z2 Z3
图题 9-7 解：
Z = Z 1 + Z 2 + Z 3 = 70.7∠45 o + 92.4∠330 o + 67∠60 o = (50 + j 50) + (80.02 − j 46.2) + (33.5 + j 58.02) = 163.52 + j 61.82 = 174.82∠20.71o Ω & 100∠0 o & = US = I = 0.572∠ − 20.71o A o Z 174.82∠20.71
j ωL
2.7 kΩ
& I
& U L
& U S
& U S
根据 RLC 串联电路电压三角形的关系，有
2 U L = U s2 − U R = 100 2 − 40.5 2 = 91.43mV
电流有效值为
I=
UR 40.5 × 10 −3 = = 15μA 2.7 k 2.7 × 10 3 U L 91.43 × 10 −3 = = 6.10 × 10 3 Ω −6 I 15 × 10 = 6.10 × 10 3 = 3.88mH 2π × 250 × 10 3
+
& U L
RL
−
& I
j ωL
& U S
R
−
+
ω = 2π f = 2π × 5 × 10 3 = π × 10 4
Z L = RL + jωL = 700 + j 64 × 10 −3 × π × 10 4 = 700 + j 2010.62 = 2128.99∠70.80 o
Z = Z L + R = 700 + j 2010.62 + 3300 = 4000 + j 2010.62
各元件电压有效值为
U R = I × 200 = 14.4V U L = I × 75.4 = 5.43V
U C = I × 132.63 = 9.55V
6．正弦电流电路如图题 9-6 所示，已知 R=100Ω，L=20mH，C=10μF，正弦电源电压有效值为 35V， 频率 500Hz，若以电源电压为参考正弦量，求电流 i 的相量及各元件的电流有效值。
−
−j
1 1 =−j = − j 48.23Ω ωC 2000π × 3.3 × 10 −6
& U s R− j 1 ωC = 12∠0 o = 0.0928∠21.9 o A 120 − j 48.23
&= I
i = 92.8 2 cos(2000π t + 21.9 o )mA
U R = I × 120 = 11.1V
U C = I × 48.23 = 4.47V
5．正弦电流电路如图题 9-5 所示，已知 L=20mH，C=2μF，R=200Ω,正弦电源电压的有效值为 15V， 频率为 600Hz。若以电源电压为参考正弦量，求电路中电流相量及各元件电压的有效值。
+ us -
i
R
L C
图题 9-5 解：
& I
& U S
+
R
j ωL
& U R
& U L
−
& U C
−j