数学物理方程模拟试卷
一、写出定解问题（10分）
设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程：
（a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止
（b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力
F(t)
解：（a ）()
()()()
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥='=≤≤==><<∂∂=∂∂0,0,,0),0(0,0)0,(,)0,(0,0,22
222t t l u t u l x x u E
F x u t l
x x u a t u x t
(b) ()
()()()
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥='=≤≤==><<∂∂=∂∂0,,,0),0(0,0)0,(,0)0,(0,
0,22
222t E t F t l u t u l x x u x u t l x x u a
t u x t
其中E 为扬氏系数。

二、判定方程的类型并化简（20分）
例. 化简 0623222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂∂+∂∂y u
x u y y x u x u
（1） 解：已知3,1,1-===c b a
特征方程为
12
12±=-±=a ac
b b dx dy
11c x y dx dy
+-=→-=∴
,13c x y dx
dy +-=→= 令⎩⎨⎧-=+=y
x y x 3ηξ ⎩⎨⎧===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x
yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy
xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+=++=-=+=ηη
ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy
xx y 2329632 （4）
把（4）代入（1），可得
0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u
即 02
1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。

三、（每小题10分，共20分）
①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x
y t y ∂∂=∂∂的通解。

②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。

解：①设v t x u t x =-=+52,52，得
)()(v G u F y +=，
)5()('5)('-⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v G u F t
v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1）
t v v G t u u F v G u F t t
y ∂∂∂∂-∂∂∂∂=-∂∂=∂∂'5'5)]('5)('5[22 )("25)("25v G u F +=。

（2）
2)('2)('⋅+⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v G u F x
v v G x u u F x y )('2)('2v G u F +=， （3）
x v v G x u u F v G u F x
x y ∂∂∂∂+∂∂∂∂=+∂∂=∂∂'2'2)]('2)('2[22 )("4)("4v G u F +=，（4）
由（2）与（4），可得
2222254x
y t y ∂∂=∂∂。

故满足方程，因为原方程为二阶方程，所以含有二个任意函数的解是通解。

②由：),52()52(),(t x G t x F t x y -++=
)52('5)52('5),('t x G t x F t
y t x y t --+=∂∂=。

可得
x x G x F x y 2sin )2()2()0,(=+=， （5）
0)2('5)2('5)2('5)0,('=--=x G x G x F x y t （6） 故 )2(')2('x G x F =。

x x G x F 2cos 21)2(')2('=
=∴， 12sin 2
1)2(c x x F +=∴， 22sin 2
1)2(c x x G +=， 即 21)52sin(2
1)52sin(21),(c c t x t x t x y ++-++=。

利用 00),(0),0(21=+==c c t y t y 知或π。

故 )52sin(2
1)52sin(21),(t x t x t x y -++=
t x 5cos 2sin ⋅=。

代入可验证这是所求的解。

四．求方程的一般解（20分）
1、 022222222
=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂-∂∂y u y x u x y u y y x u xy x u x ， 解：特征方程为
x
y dx dy -=，c xy =∴。

令⎩⎨⎧==.
,y xy ηξ， 代入方程得 ηηη∂∂-=∂∂u u 122， )(ln ln ln ξϕηη+-=∂∂∴u ， η
ξϕη)(=∂∂∴u 。

)(ln )(ξψηξϕ+=u ，)(ln )(),(xy y xy y x u ψϕ+=∴。

（一般解）
2、求下面方程的初值问题的解：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂-∂∂∂+∂∂==0303202
022222y y y u x u y u y x u x u 解：作变换： ⎩⎨⎧-=+=.
3,y x y x ηξ 可得方程 ,02=∂∂∂η
ξu ),3()()()(),(y x y x u -++=+=∴ψϕηψξϕηξ
⎪⎭
⎪⎬⎫=-=∂∂=+===.0)3(')(',3)3()(020x x y u x x x u y y ψϕψϕ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.)3(31)(,3)3()(2c x x x x x ψϕψϕ ⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=∴,449)3(,443)(22c x x c x x ψϕ ⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=.44)(443)(22c c ηηψξξϕ .)3(41)(43)()(),(22y x y x y x u -++=+=∴ηϕξψ .3),(2
2y x y x u +=∴
五、用分离变量法求解（30分）
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤==≥====).
0().()0,(),()0,()0(,0),(,0),0().(,''22l x x F x u x f x u t t l u t u E a u a u t x
xx tt ρ 其中u 是坐标为x 的截面的位移，l 是杆长，ρ为单位长度的质量，E 是杨氏系数。

解：应用分离变量法：
令 ),()(),(t T x X t x u ⋅=
即得 .sin cos )(x D x C x X λλ+=
.sin cos )(at B at A t T λλ+=
由边条件：
,0,0)0(=⇒=C X
πλl n l X 212,0)('+=
⇒=。

∑∞=++++=
∴02)12(sin )212sin 2)12(cos (),(n n n x l n at l n b at l n a t x u πππ。

由初条件：
∑∞===+=00),(212sin
n n t x f x l
n a u π )(212sin )212(10x F x l
n a l n b u n n t t
=++=∑∞==ππ， 故得： ⎰+⋅=l n xdx l
n x f l a 0212sin )(2π， ⎰++=l n xdx l
n x F a n b 0212sin )()12(4ππ， 代入),(t x u 中，即得我们所要求的解。