浙江高考数列经典例题汇总1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列和满足{}n a {}n b .若为等比数列，且()()*∈=N n a a a nb n 221 {}na .6,2231b ba +==(Ⅰ)求与；na nb (Ⅱ)设。
记数列的前项和为.()*∈-=N n b a c nn n 11{}n c n n S （i ）求；nS （ii ）求正整数，使得对任意，均有．k *∈N n nk S S ≥2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项{}n a 1a a =(),设数列的前n 项和为，且，，成等比数列a R ∈n S 11a 21a 41a （Ⅰ）求数列的通项公式及{}n a nS （Ⅱ）记，，当时，试比1231111...n n A S S S S =++++212221111...n nB a a a a =++++2n ≥较与的大小.n A n B3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列，，，{}n a 0≥n a 01=a ．22111()n n n a a a n N ∙+++-=∈nn a a a S +++= 21．)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=求证：当时，∙∈N n （Ⅰ）；1+<n n a a （Ⅱ）；2->n S n （Ⅲ）。
3<n T 4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列中的相邻两项是关于{}n a 21,2k k a a -的方程的两个根，且x 212(1,2,3,)k k a a k -≤= （Ⅰ）求；1,357,,a a a a （Ⅱ）求数列的前项的和；{}n a 2n 2n S （Ⅲ）记，1|sin |()(3)2sin n f n n =+(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n nT a a a a a a a a +-----=++++求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. 【2005年.浙江卷.理20】设点(，0)，和抛物线：y ＝x2＋ann A n x 1(,2)n n nP x -n C x ＋bn(n∈N*)，其中an ＝－2－4n －，由以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在112n -n x抛物线C1：y ＝x2＋a1x ＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y ＝x2＋an x ＋bn 上，点(，0)到的距离是11(,2)nn n P x ++n C n A n x 1n P +n A 到上点的最短距离．n C (Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{}是等差数列．n x 6. 【2015高考浙江，理20】已知数列满足=且=-（）{}n a 1a 121n a +n a 2n a n ∈*N （1）证明：1（）；12nn a a +≤≤n ∈*N（2）设数列的前项和为，证明（）{}2n a n n S 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++n ∈*N 7.【2016高考浙江理数】设数列满足，．{}n a 112n n a a +-≤n *∈N （I ）证明：，；()1122n n a a -≥-n *∈N （II ）若，，证明：，．32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭n *∈N 2n a ≤n *∈N例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列满足{}n a a 1=3，a n+1=a n 2+2a n ，n ∈N* ， 设b n =log 2(a n +1).（I ）求{a n }的通项公式；（II ）求证：1+<n(n≥2)；（III ）若=b n ，求证：2≤<3.2n c1()nn nc c +例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列满足{}n a ，．221132n n n n a a a a +++=+11a =（Ⅰ）求的值；2a （Ⅱ）证明：对任意的，；n N *∈12nn a a +≤（Ⅲ）记数列的前项和为，证明：对任意的，．{}n a n n S n N *∈11232n n S --≤<例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列满足{}n a ，21111,8n n a a a m +==+(1)若数列是常数列，求m 的值；{}n a （2）当时，求证：；1m >1n n a a +<（3）求最大的正数，使得对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。
m 4n a <例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列{}{},n n a b 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n nn b a b +成等差数列。
（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式na，n b 。
（Ⅱ）设1(2)n nx n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S ，证明：12n S <。
例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列满足，，{}n a 112a =，212016n n n a a a a +=+n N *∈(1)求证1n na a +>(2)求证20171a <(3)若证，求证整数k 的最小值。
1k a >例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列定义为，{}n a 10a >，， 11a a =2112n n na a a +=+n N *∈（1）若，求的值；1(0)12aa a a=>+1210111222a a a ++⋅⋅⋅++++（2）当时，定义数列，，0a >{}n b 1(12)k b a k =≥11n b+=-+数，使得。
如果存在，求出一组，如,()i j i j ≤2112i j b b a a +=+-(,)i j 果不存在，说明理由。
例7．（2017年浙江名校高三下学期协作体）已知函数，4()415f x x =+（Ⅰ）求方程的实数解；()0f x x -=（Ⅱ）如果数列满足，（），是否存在实数，使得{}n a 11a =1()n n a f a +=n N *∈c对所有的都成立？证明你的结论．221n n a c a -<<n N *∈（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．{}n a n n S 114nS n<≤例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列满足112a =，{}n a 2121n n n n a a a a +=-+n +∈N 且且（1）证明：；n n a a <+1（2）设的前项的和为，证明：.}{n a n n S 1n S <例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列满足112a =，{}n a 11n n a a n+=A n +∈N 且且(1) 求证：；21n n a an n +<+(2)求证：3421111....23(1)n n a a n a +-≤+++≤+例10．（2017年4月杭州高三年级教学质量检测）已知数列数列的各项均为非负数，{}n a 其中前n 项和为，且对任意，都有n S N n +∈212n n n a a a +++≤（1）若，，求的最大值11a =5052017a =6a （2）对任意，都有，求证N n +∈1Sn ≤120(1)n n a a n n +≤-≤+1设数列满足，为的前项和.证明：对任意，{}n a ()2*11n n n a a a n +=-+∈N n S {}n a n *n ∈N （Ⅰ）当时，；101a ≤≤01n a ≤≤（Ⅱ）当时，；11a >()1111n n a a a ->-（Ⅲ）当时，.112a =n n S n -<<2．已知数列满足{}n a 2111()2n n n a a a ba n *+==+∈N 且(1) 求证:,1-=b 211≤≤+n n a a(2) 数列的前，求证:,2=b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a 211n S n 项和为1321<<-n n S 3．已知各项均为正数的数列，，前项和为，且.{}n a 11=a n n S 122-=-n n n S a a (1) 求证：4212++<n n n a a S (2)求证：212121-<+⋯⋯++<+n n n S S S S S4．设是函数的图象上的任意两点.()())(,,)(,2211x f x B x f x A x x x f -+=1log 21)(2（1）当时，求的值；121=+x x )()(21x f x f +（2）设，其中，求；⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111211n n f n n f n f n f S n *n ∈N n S （3）对于（2）中的，已知，其中，设为数列的前项n S 211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n S a *n ∈N n T {}n a n 的和，求证:.3594<≤n T 5．给定正整数和正数.对于满足条件的所有等差数列 n M 2211n a a M ++≤123,,,a a a …，1221=n n n S a a a +++++…+，(1)求证：2251S M n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭6．已知数列满足，，，设.}{n a 31=a n n n a a a 221+=+*,2n n ∈≥N )1(log 2+=n n a b （Ⅰ）求的前项和及的通项公式；}{n b n n S }{n a （Ⅱ）求证：；)2(1131211≥<-+⋅⋅⋅+++n n b n （III ）若，求证：.n c b n =23)(21<≤+nnn c c 7．已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+，（1）若数列{}n a 是常数列，求m 的值；（2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.8．已知数列的前n 项和为且 .{}n a ,n S 32,2n n n S a =-*∈n N （1）求证为等比数列，并求出数列的通项公式；1{}2n n a -{}n a （2）设数列的前n 项和为，是否存在正整数，对任意1{}nS n T λ若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由*m n ,,-0∈<m n T S λN 不等式恒成立？λ9．已知数列满足：.{}n a ()()21121,1n n n a a a a n n *+==+∈+N （Ⅰ）证明：；()12111n n a a n +≥++（Ⅱ）证明：.()12113n n a n n ++<<++10．已知数列满足：，．()，{}n a 11=a 221)1(++=+n a a a n n n *n ∈N 证明：当时，*n ∈N(Ⅰ) ；21)1(11++≥+n a a n n (Ⅱ).13)1(21+<<+++n a n n n11．已知数列满足，，.}{n a 521=a n n n a a a -=+321n *∈N （1）求，并求数列的通项公式；2a }1{na （2）设的前项的和为，求证：.}{n a n n S 1321))32(1(56<≤-n n S12．数列满足，{}n a 11=a 1221+=+n a n a n n n +∈N 且且（1）证明：；n n a a <+1（2）证明：；nn a a a a a a n n 1213221-+≤+⋯⋯+++（3）证明：.41>n a 13．对任意正整数，设是关于的方程的最大实数根n n a x 31x nx -=（11n n a a +<<<（2）当时，对任意的正整数4n ≥m n m n a a +<-<（3）设数列的前项和为，求证：21{}n a n n S ln(1)13n n S +<<+。