4.灰数白化与灰度 （1）有一类灰数是在某个基本值附近变动的，这类灰数白 化比较容易，可将其基本值为主要白化值。可记为
(a) a a 其中 a 为忧动灰元。此灰数的白化值为 (a) a
（2）对一般的区间灰数 [a, b] ，将白化取值为
定义：形如
的白化称为等权白化。
定义：在等权白化中
（6）本征灰数与非本征灰数
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作 为其“代表”的灰数；
非本征灰数是凭借某种手段，可以找到一个白数作 为其“代表”的灰数。
则称此白数为相应灰数的白化值，记为
并用 (a) 表示以a为白化值的灰数。
如：托人代买一件价格为100元左右的衣服，可将100作
为预测衣服价格(100)的白化数，记为
（只要求较短的观测资料即可）
（3）灰色预测法
• 灰色预测法是一种对含有不确定因素的系统 进行预测的方法。
灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定 信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变 化的、与时间有关的灰色过程进行预测。
• 灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的 相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进 行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较 强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方 程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
息是未知 的，系统内各因素间有不确定的关系。
（2）灰色系统特点
• 用灰色数学来处理不确定量，使之量化。
• 充分利用已知信息寻求系统的运动规律。
关键：如何使灰色系统白化、模型化、优化 灰色系统视不确定量为灰色量，提出了灰色系统
建模的具体数学方法，它能用时间序列来确定微分方 程的参数。
•灰色系统理论能处理贫信息系统。
3、区间灰数的运算
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d) (1) 1 + 2 ∈[a+c,b+d] (2) -1 ∈ [-a, -b]
(3) 1 - 2 =1 +(- 2) ∈[aa-d,b-c] (4) 1 ·2 ∈ [min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}] (5) 1/ 2 ∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}] (6)若k为正实数， 则： k1 ∈[ka, kb]
即通过灰色模型预测异常值出现的时刻， 预测异常值 什么时候出现在特定时区内。
• 系统预测 通过对系统行为特征指标建立一组相互关
注：白权化函数被用来描述一个灰数对其取值范围内不同 数值的“偏爱”程度。
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型的 白化权函数。
f(x) 1
L(x)
R(x)
0 x1
x2
x
x3
x4
定义：设区间灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
当 时，称 1与2取数一致；
当 时，称1与2取数不一致。
8.2 灰 色 预 测 概 念
一、灰色预测的概念 （1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，
即系统的信息是完全充分的。
• 黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是
一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测 研究。
• 灰色系统内的一部分信息是已知的，另一 部分信
(100) 100
从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次 型灰数。
（7）信息型灰数
因暂时缺乏信息而不能肯定其取值的数。但到一定 的时间，通过信息补充，灰数可以完全变白。
a
（8）概念型灰数，也称意愿型灰数
指由人们的某种概念、意愿形成的灰数。
（9）层次型灰数
指由层次的改变形成的灰数。(宏观白,微观灰)
值白化。
1 2
而得到的白化值称为等权均
在区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。
在灰数的分布信息已知时，常采用非等权均值白化。如：
如：某人2000年的年龄可能是40岁到60岁， [40, 60]
根据了解，此人受初中级教育12年，且20世纪60年代中期 考入大学，故此人的年龄到2000年为58左右的可能性较大。 或者在56岁到60岁的可能性较大。
8.1 灰色系统基本原理与灰数
一、原理 1、差异信息原理： 差异即信息，凡信息必有差异。
2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯 一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的 基本法则。
3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占 有的“最少信息”。
4、认知根据原理：信息是认知的根据。
5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。
6、灰性不灭原理： “信息不完全”是绝对的。
二、灰数及其运算 1、灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数， 通常记为：“”。
例如： （1）多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。
（2）多么大的苹果算大苹果，小苹果。 2、灰数的种类
（1）仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞]、 ∈(a)
• 灰色预测法用等时距观测到的反映预测对 象特征的一系列数量值构造灰色预测模型， 预测未来某一时刻的特征量，或达到某一 特征量的时间。
（4）灰色预测的四种常见类型
• 灰色时间序列预测 即用观察到的反映预测对象特征的时间
序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时 刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
• 畸变预测
定理1：区间灰数不能相消、相约。
即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数 的取数一致时，灰数的自差才等于0。
如： ∈[2，5]，
=0
取数一致
－
∈[-3，3] 取数不一致
=1
取a数一致
如： / ∈[2/5，5/2] 取数不一致
灰度：是灰数的测度。
灰度在一定程度上反映了人们对灰色系统之行为 特征的未知程度。它与相应定义信息域的长度及其 基本值有关。
（2）仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,a ]
（3）区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, a]
（4）连续灰数与离散灰数 a 在某一区间内取有限个值的灰数为离散灰数， 取值连续地取满整个区间的灰数为连续灰数。
（5）黑数与白数
当 ∈（- ∞， ∞）或 ∈(1, 2)，（即当 的上界、 下界皆为无