一、集合的含义与表示（1）集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。

（2）元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）。

（3）常用数集及其表示符号（4）集合的表示法：列举法；描述法；图示法。

二、集合间的基本关系三、集合的基本运算x x}x B∈x x}x B∈(1)A A∅=;(2)A A A=;A B B=B A=⇔A(1)A∅=∅(2)A A A=;A B B=(4)A B A=⇔A B⊆()UC A=()U UC A=(4)()(UC A B=(5)()(UC A B=知识拓展：设有限集合A中元素的个数为n，则（1）（1）A的子集个数是2n；（2）A的真子集个数是2n-1；（3）A的非空子集个数是2n-1；（4）A的非空真子集个数是2n-2。

一、不等式的定义用数学符号“>、<、≤、≥、≠”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式。

二、不等式的基本性质三、比较大小的基本方法 作差法：理论依据：0;0;0a b a b a b a b a b a b ->⇔>-<⇔<-=⇔=。

基本步骤： （1）作差；（2）变形（方法主要有通分、平方差和公式、因式分解、配方法、分子分母有理化、指数对数的恒等变形）；（3）结论（与0比较）。

四、不等式的解法1、一元一次不等式组（a b <）： （1）x ax b>⎧⎨>⎩的解集为}{x x b >；（2）x a x b <⎧⎨<⎩的解集为}{x x a <；（3）x ax b >⎧⎨<⎩的解解为}{x a x b <<；（4）x a x b <⎧⎨>⎩的解集为∅2、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式2y ax bx =+(0)a >的图像3、绝对值不等式（1）当0a >时，有{x a x x a >⇒>或}x a <；{}x a x a x a <⇒-<<； （2）当0a =时，有}{00x x x >⇒≠；0x <⇒∅；（3）当0a <时，x a x R >⇒∈；x a <⇒∅； （4）当0a >时，有{cx d a x cx d a +>⇒+>或}cx d a +<； {}cx d a x a cx d a +<⇒-<+<.（5）当0a =时，有}{00cx d x cx d +>⇒+≠；0cx d +<⇒∅。

（6）当0a <时，有cx d a x R +>⇒∈；cx d a +<⇒∅。

4、分式不等式 （1）()()()()()*000f x g x f x g x g x ≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩；（2）()()()()()*000f xg x f x g x g x ≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ （3）()()()()0*0f x f x g x g x >⇔> （4）()()()()0*0f x f x g x g x <⇔< 一、函数的概念 1、定义（1）两个非空的数集A 、B ；（2）如果按照某种确定关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应；（3）称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

2、函数的定义域、值域（1）定义域：自变量x 的取值范围；（2）值域：与x 相对应y 的取值范围。

3、函数的三要素：定义域、值域、对应关系。

二、函数的相关结论1、相等函数：定义域相同，并且对应关系相同。

2、表示函数的方法：解析法、图像法、列表法。

3、分段函数：自变量x 的取值范围不同，需要不同的对应法则。

（1）定义域：各个部分的并集； （2）是一个函数；（3）求()f x ，要判断自变量x 在哪个范围内，在代入相应的表达式。

4、求函数定义域的方法： （1）已知函数解析式，求函数定义域，即整式为R ；分母0≠；偶次根式下0≥；奇次根式为R ；0次幂底0≠；指数为R ；对数0>。

（2）若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出。

（3）若已知函数()()f g x 的定义域为[],a b ，则函数()f x 的定义域为()g x 在[],x a b ∈时的值域。

5、求函数解析式的方法（1）待定系数法：若已知()f x 的解析式类型，设出它的一般式，根据特殊值，确定相关系数即可；例1、已知()f x 是一次函数，且()()43ff x x =+，则()f x 的解析式。

（2）换元法：设()t g x =，解出x ，代入()()f g x ，求()f t 的解析式即可；（3）解方程组法：利用已经给出的关系式，构造新的关系式，通过解关于()f x 的方程组求出()f x ；例2、已知函数()12f x f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。

（4）赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出解析式。

例3、已知()01f =，对任意的实数,x y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的解析式。

一、函数的单调性若函数()f x 在区间D 上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间上具有单调性，区间D 叫做()f x 的单调区间。

3、判断（证明）单调性的方法（1）图像法：在区间D 上，图像呈上升趋势，则函数在区间D 上是增函数；反之，图像呈下降趋势，则函数在区间D 上是减函数。

（2）利用定义证明函数单调性的步骤： a. 任取12,x x D ∈，且12x x <； b. 作差()()12f x f x -；c. 变形（通分、因式分解、配方法、分母分子有理化）；d. 定号（即判断()()12f x f x -的正负，和“0”比较）；e. 下结论（即指出函数()f x 在给定的区间上的单调性）。

4、几种初等函数单调性的判断（证明） （1）一次函数(0),y kx b k x R =+≠∈解（证明）：在定义域R 上任取12,x x R ∈,且12x x <，则()()12f x f x -=()12()kx b kx b +-+12()k x x =-12120x x x x <∴-<当0k >时，有()()1212()0f x f x k x x -=-<即 ()()12f x f x < 故函数y kx b =+在R 上是增函数。

而当0k <时，有()()1212()0f x f x k x x -=->即 ()()12f x f x > 故函数y kx b =+在R 上是减函数。

（2）二次函数()20y ax bx c a =++≠ 解：单调区间为,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a >时，函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是减函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数；当0a <时，函数在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是增函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数证明函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭是减函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。

证明：a. 在,2b a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上任取12,x x ,且12x x <，则 ()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b -=++-++=-+-=-+-=-++-=-++⎡⎤⎣⎦12120x x x x <∴-<又12,22b bx x a a<-<-1212,22b b b x x x x a a a∴+<---+<- 又()120,a a x x b >∴+<-()120a x x b ∴++<()12()f x f x ∴-()()12120x x a x x b =-++>⎡⎤⎣⎦即 ()12()f x f x >故函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭是减函数。

b.在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上任取12,x x ,且12x x <，则 ()()()()()()()()()()221211222212122212121212121212()f x f x ax bx c ax bx c ax ax bx bx a x x b x x a x x x x b x x x x a x x b -=++-++=-+-=-+-=-++-=-++⎡⎤⎣⎦12120x x x x <∴-<又12,22b bx x a a>->- 1212,22b b bx x x x a a a ∴+>---+>-又()120,a a x x b >∴+>-()120a x x b ∴++>()12()f x f x ∴-()()12120x x a x x b =-++<⎡⎤⎣⎦即 ()12()f x f x <故函数()20y ax bx c a =++>在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭是减函数。

（3）反比例函数(0)ky k x=≠ 解：单调区间为(),0-∞，()0,+∞，当0k >时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都为减函数；当0k <时，函数在(),0-∞和()0,+∞上都为增函数。

证明函数(0)ky k x=>在(),0-∞上是减函数；在()0,+∞上是减函数。

证明：在(),0-∞上任取12,x x ,且12x x <，则()()121221122112()k kf x f x x x kx kx x x k x x x x -=--=-=12210x x x x <∴->又()210,0k k x x >∴->又120,0x x <<，120x x ∴>()()211212()0k x x f x f x x x -∴-=>即 ()12()f x f x > 故函数(0)ky k x=>在(),0-∞上是减函数。