高二数学上学期期末试题Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】重庆市重点中学高二数学上学期期末试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题（50分）1．设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫≥⎨⎬+⎩⎭，则A B =（ ） A ．(]3,2-- B ．(]53,20,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D ．(]5,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭2.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 53.设a,b,c 分别是△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边的边长，则直线sinA ·x+ay+c ＝0与bx-sinB ·y+sinC ＝0的位置关系是( )A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直4.已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o5.设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）2 （B ）12- （C ）2（D 1 6.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )(A) 18 (B)41 (C) 21(D)17．设函数f(x)＝ax 2+bx+c(a>0)，满足f(1-x)＝f(1+x)，则f(2x)与f(3x)的大小关系是( )(3x)>f(2x) (3x)<f(2x)(3x )≥f(2x ) (3x )≤f(2x)8.已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+9．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-．若方程1(2)kx ⊗-=有解，则k 的取值范围是（ ）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ﹒[]0,1C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ﹒14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-二、填空题（24分）11.抛物线y 2=4x 的准线方程是 ；焦点坐标是 ．A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±12．若函数2(),(1)2(2)3xf x x x a x a=≥+++能用均值定理求最大值，则需要补充a 的取值范围是13.已知302010x y x y x y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则222415x y x y +-++的最大值为14..从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为15.已知点A 在圆C ：31)2(22=-+y x 上运动，点B 在以)0,3(F 为右焦点的椭圆k ky x =+22上运动，求|AB|的最大值 。
16.（2005江西卷理第16题，文第16题）以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）三、计算题(76分)17. (13分)如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心轨迹方程。
18．(12分)解不等式：解关于x 的不等式:x ax x a <+-+12)1(2 (其中)0>a19. (12分)P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆2212y x +=上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点．已知PF 与FQ 共线，MF 与FN 共线，且0PF MF ⋅=．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．20.（13分）某人上午7：00时，乘摩托车以匀速V 千米／时(4≤V ≤20)从A 港出发到相距50千米的B 港去，然后乘汽车以匀速W 千米／时(30≤W ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，要求在当天16：00时至21：00时这段时间到达C 市．设汽车所需要的时间为X 小时，摩托车所需要的时间为Y 小时． (1)作图表示满足上述条件的X ，Y 的范围；(2)如果已知所要的经费：1003(5)2(8)p x y =+-+-（元），那么V ，W 分别是多少时所要的经费最少此时需花费多少元21.（12分）已知二次函数),,()(2R c b a c bx ax x f ∈++=，当]1,1[-∈x 时，1|)(|≤x f .（1）求证：1||≤b ；（2）若1)1(,1)0(=-=f f ，求)(x f 的表达式.22.（14分）22．（14分）以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，建立直角坐标系．设1OF FG ⋅=，点F 的坐标为[)(,0),3,t t ∈+∞．点G 的坐标为00(,)x y ． (1)求0x 关于t 的函数0()x f t =的表达式，并判断函数()f x 的单调性．(2)设△OFG 的面积S =，若O 以为中心，F ，为焦点的椭圆经过点G ，求当OG 取最小值时椭圆的方程．(3)在(2)的条件下，若点P 的坐标为9(0,)2，C ，D 是椭圆上的两点，(1)PC PD λλ=≠， 求实数λ的取值范围．参考答案一、选择题：1—5 DDCDD 6—10 BACBC二、填空题：11﹒x=－1；(1, 0) 12﹒13a ≥13. 26 15.3321231328||+=+=最大AB 16. ③④三、17. 解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=332121y y y x x x …（1） ∵OA ⊥OB ∴1-=⋅OB OAk k ,即12121-=+y y x x ， (2)又点A ，B 在抛物线上，有222211,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x∴32332)3(31]2)[(31)(3132221221222121+=+⨯=-+=+=+=x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3232+=x y （II ）22212122222122212222212121))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB+++=++==∆由（I ）得12212)1(2212221221662616261=⨯=+-=+⋅≥++=∆x x x x S AOB 当且仅当6261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。
所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1； 18.解:x ax x a <+-+12)1(2⇔012)1(2<-+-+x ax x a ⇔<+-+⇔01)2)(1(ax x x 0)1)(2)(1(<+-+a x x x① 当10<<a 时, 原不等式的解集为 )2,1()1,(-⋃--∞a② 当1=a 时, 原不等式的解集为)2,1()1,(-⋃--∞③ 当1>a 时 原不等式的解集为 )2,1()1,(a-⋃--∞解：如图，由条件知MN 和PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ ⊥MN ，直线PQ 、NM 中至少有一条存在斜率，不妨设PQ 的斜率为K ，又PQ 过点F(0,1)，故PQ 的方程为y =kx +1将此式代入椭圆方程得(2+2k )2x +2kx －1=0设P 、Q 两点的坐标分别为(1x ，1y )，(2x ，2y )，则12x x ==从而222221212228(1)||()()(2)k PQ x x y y k +=-+-=+亦即22)||2k PQ k +=+(1)当k ≠0时，MN 的斜率为－1k，同上可推得221(1))||12()k MN k+-=+-故四边形22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++===++++ 令u =221kk +得4(2)12(1)5252u Su u+==-++∵u =221k k+≥2 当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数∴1629S ≤<②当k =0时，MN 为椭圆长轴，，。
∴S=12|PQ||MN|=2综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为169。
22222222114(1)(1)4(2)1||||122(2)(2)52k k k k S PQ MN k k k k++++===++++ 令u =221kk +得4(2)12(1)5252u S u u+==-++∵u =221k k+≥2当k =±1时u =2，S=169且S 是以u 为自变量的增函数 ∴1629S ≤< ②当k =0时，MN 为椭圆长轴，，。
∴S=12|PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN 的最大值为2，最小值为169。
20．解：（1）依题意得：50300,vw y x==，又420,30100v w ≤≤≤≤，所以525310,22x y ≤≤≤≤，而914x y ≤+≤，所以满足条件的点的范围是图中阴影部分：（2）1003(5)2(8),32131p x y x y p =+⨯-+⨯-∴+=-作出一组平行直线32x y t +=（t 为参数），由图可知，当直线32x y t +=经过点(10,4)时，其在y 轴上截距最大，此时p 有最小值，即10,4x y ==当时，p 最小此时12.5,30v w ==，min 93p =元21．（1）由已知得1|||)1(|≤+-=-c b a f ，1|||)1(|≤++=c b a f∴2|)1(||)1(||)1()1(||2|≤-+≤--=f f f f b ∴1||≤b（2）若12-<-ab，则)(x f 在]1,1[-为增函数，∴1)0(),0()1(-=<-f f f ∴1|)1(|>-f 与1|)1(|≤-f 矛盾；若12>-a b，则)(x f 在]1,1[-为减函数，∴)0()1(f f <与已知矛盾。