1.1.3.1一、选择题1．已知集合M ＝{直线},N ＝{圆},则M ∩N 的元素个数为( )个．( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定[答案] A[解析] 集合M ∩N 中的元素表明既是直线又是圆的元素,这样的元素是不存在的,从而M ∩N ＝∅,故选A.[点评] 集合M 与N 都是图形集,不是点集,M 中的元素为直线,N 中的元素为圆．易将M ∩N 错误理解为直线与圆的交点个数的集合,得出M ∩N ＝{0,1,2},从而易错选C.2．(2010·江西理,2)若集合A ＝{x | |x |≤1，x ∈R },B ＝{y |y ＝x 2,x ∈R },则A ∩B ＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅[答案] C[解析] 集合A ＝{x |－1≤x ≤1},B ＝{y |y ≥0},故A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．选C.3．(09·山东文)集合A ＝{0,2,a },B ＝{1,a 2}．若A ∪B ＝{0,1,2,4,16},则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4 [答案] D [解析] ∵A ＝{0,2,a },B ＝{1,a 2},A ∪B ＝{0,1,2,4,16},∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16a ＝4，∴a ＝4.故选D. 4．(2010·福建文,1)若集合A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |x >2},则A ∩B 等于( )A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |x ≥1}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |x >2}[答案] A[解析]∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．5．设集合A ＝{x |－1≤x ＜2},B ＝{x |x ＜a },若A ∩B ≠∅,则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ＞－2C ．a ＞－1D ．－1＜a ≤2 [答案] C[解析] 由A ∩B ≠∅知a ＞－1,故选C.6．(08·山东文)满足M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},且M ∩{a 1,a 2,a 3}＝{a 1,a 2}的集合M 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] ∵M ∩{a 1,a 2,a 3}＝{a 1,a 2},∴a 1∈M ,a 2∈M ,a 3∉M .又∵M ⊆{a 1,a 2,a 3,a 4},∴M ＝{a 1,a 2}或{a 1,a 2,a 4}．7．(09·全国Ⅱ理)设集合A ＝{x |x >3},B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x －4<0,则A ∩B ＝( ) A ．∅ B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4,＋∞) [答案] B[解析] ∵A ＝{x |x >3},B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －1x －4<0＝{x |(x －1)(x －4)<0}＝{x |1<x <4}, ∴A ∩B ＝{x |3<x <4}． 8．设P 、Q 为两个非空实数集合,定义集合P ＋Q ＝{x |x ＝a ＋b ,a ∈P ,b ∈Q },若P ＝{0,1,2},Q ＝{－1,1,6},则P ＋Q 中所有元素的和是( )A ．9B ．8C ．27D ．26[答案] D[解析] 由P ＋Q 的定义知：a ＝0时,b 可取－1,1,6,故x ＝－1,1,6；同理可得x 可取的其它值为：0,2,7,3,8,故P ＋Q ＝{－1,0,1,2,3,6,7,8},其所有元素之和为26.9．已知集合A ＝{x |x ＝2k ＋1,k ∈N *},B ＝{x |x ＝k ＋3,k ∈N },则A ∩B 等于( )A ．BB ．AC ．ND ．R[答案] B [解析] A ＝{3,5,7,9…},B ＝{3,4,5,6…},易知A B ,∴A ∩B ＝A .10．当x ∈A 时,若x －1∉A ,且x ＋1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”,若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′,集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′,则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3}[答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知,M ′＝{3},N ′＝{0},则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题11．若集合A ＝{2,4,x },B ＝{2,x 2},且A ∪B ＝{2,4,x },则x ＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B ⊆A ,∴x 2＝4或x 2＝x ,∴x ＝0,1,±2,由元素的互异性知x ≠2,∴x ＝0,1或－2.12．已知A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝x },B ＝{x |(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋1},当A ＝{2}时,集合B ＝________.[答案] {3＋2,3－2}[解析] ∵A ＝{2},∴方程x 2＋px ＋q ＝x 有两相等实根2, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋2p ＋q ＝2(p －1)2－4q ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝4, ∴方程(x －1)2＋p (x －1)＋q ＝x ＋1可化为：x 2－6x ＋7＝0,∴x ＝3±2,∴B ＝{3＋2,3－2}．13．(胶州三中2009～2010高一期末)设A ＝{x |x 2－px ＋15＝0},B ＝{x |x 2＋qx ＋r ＝0}且A ∪B ＝{2,3,5},A ∩B ＝{3},则p ＝______；q ＝______；r ＝______.[答案] 8 －5 6[分析] 抓住集合中元素的特征性质,A 、B 都是一元二次方程的解集．从A ∩B 入手知3是两个方程的公共根,可确定A 中方程的系数p 进而得A ,也就弄清了B 中的元素获解．[解析] ∵A ∩B ＝{3},∴3∈A,3∈B∴⎩⎪⎨⎪⎧9－3p ＋15＝0 (1)9＋3q ＋r ＝0 (2),由(1)得p ＝8 , ∴A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}又A ∪B ＝{2,3,5},∴2∈B ,∴4＋2q ＋r ＝0 (3)由(2)(3)得q ＝－5,r ＝6.经检验符合题意．三、解答题14．已知A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3},B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}(1)若A ∩B ＝∅,求a 的取值范围．(2)若A ∪B ＝B ,a 的取值范围又如何？[解析] (1)－1≤a ≤2(2)∵A ∪B ＝B ,∴A ⊆B ,∴a ＋3<－1,或a >5,∴a ＞5或a ＜－415．设集合M ＝{1,2,m 2－3m －1},N ＝{－1,3},若M ∩N ＝{3},求m .[解析] ∵M ∩N ＝{3},∴3∈M ,∴m 2－3m －1＝3,∴m ＝－1或4.16．已知A ＝{1,x ,－1},B ＝{－1,1－x }．(1)若A ∩B ＝{1,－1},求x .(2)若A ∪B ＝{1,－1,12},求A ∩B . (3)若B ⊆A ,求A ∪B .[解析] (1)由条件知1∈B ,∴1－x ＝1,∴x ＝0.(2)由条件知x ＝12, ∴A ＝{1,12,－1},B ＝{－1,12}, ∴A ∩B ＝{－1,12}． (3)∵B ⊆A ,∴1－x ＝1或1－x ＝x ,∴x ＝0或12,当x ＝0时,A ∪B ＝{1,0,－1}, 当x ＝12时,A ∪B ＝{1,12,－1}．17．某班参加数学课外活动小组的有22人,参加物理课外活动小组的有18人,参加化学课外活动小组的有16人,至少参加一科课外活动小组的有36人,则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？[解析] 设参加数学、物理、化学课外活动小组的同学分别组成集合A 、B 、C .由下图可知,要使A ∩B ∩C 的元素个数最多,因此区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中元素应尽可能地少,由于在22＋18＋16＝56中A ∩B ∩C 中元素个数重复计算了三次(只应计数一次)．故A ∩B ∩C 的元素个数最多可为12(56－36)＝10.故三科课外活动小组都参加的同学至多有10人．18．已知集合A ＝{x |3x －7>0},B ＝{x |x 是不大于8的自然数},C ＝{x |x ≤a ,a 为常数},D ＝{x |x ≥a ,a 为常数}．(1)求A ∩B ；(2)若A ∩C ≠∅,求a 的取值集合；(3)若A ∩C ＝{x |73<x ≤3},求a 的取值集合； (4)若A ∩D ＝{x |x ≥－2},求a 的取值集合；(5)若B ∩C ＝∅,求a 的取值集合；(6)若B ∩D 中含有元素2,求a 的取值集合．[解析] A ＝{x |x >73},B ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}． (1)A ∩B ＝{3,4,5,6,7,8}．(2)∵A ∩C ≠∅,∴a >73, ∴a 的取值集合为⎝⎛⎭⎫73，＋∞.(3)由条件知,A ∩C 不是空集,∴A ∩C ＝{x |73<x ≤a }, 又A ∩C ＝{x |73<x ≤3},∴a＝3,∴a的取值集合为{3}．(4)∵A∩D＝{x|x≥－2}≠A,∴A∩D＝D, ∴a＝－2,即a的取值集合为{－2}．(5)∵B∩C＝∅,∴a<0,∴a的取值集合为{a|a<0}．(6)∵2∈B∩D,∴2∈D,∴a≤2,∴a的取值集合为{a|a≤2}．。