基于Melnikov 方法的混沌阈值确定学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。

混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。

混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。

如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。

在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。

本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。

本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。

实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。

从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。

关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noiseand the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3x or53xx+, and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy1前言混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本质,最早发现于气象模型中。

混沌系统具有对初始条件敏感，遍历性，随机性等性质。

本文主要研究duffing 方程所描述的混沌系统的阈值。

阈值分为进入混沌状态的阈值c a 和由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。

本文讨论的是由混沌状态进入大尺度周期状态的阈值d a 。

本文用相轨迹图法和功率谱熵的方法分别讨论了混沌系统的阈值d a ，并对两种方法的性能做了比较。

实验发现功率谱熵方法比相轨迹图法具有更高的精度和更快的运算速度。

2混沌判据的推导本文主要研究Duffing 方程的如下两种形式:)c o s (3t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.1))c o s (53t a x x x k x ωεε∙∙=+-'∙+'' (2.2) 2.1非线性项含3x 的系统式（2. 1）可以等价为如下形式⎩⎨⎧∙+∙--==)c o s (3''t a ky x x y yx ωεε (2.3)当0=ε时，方程（2.1）为哈密顿系统，哈密顿量为4/2/2/422x x y H +-= (2.4)当0=H 时，可得同宿轨道的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∙=±=t h tht t y htt x sec 2)(sec 2)((2.5)用Melnikov 函数计算可得：)2/cosh()sin(234)](cos )()[()(000ωπωπωω∙∙∙∙±-=+∙+-=⎰∞∞-t a k dt t t a t ky t y t M (2.6)令0)(0=t M ，又1)sin(0≤t ω所以，若式（2.6）对0t 有解，则必须满足一下条件123)2/c o s h (4≤∙∙∙±πωπωa k(2.7)根据Melnikov 函数的相关定理可得： 当0/>k a 时,解得πωπω∙>23)2/cosh(4ka ,阈值为πωπωω∙=23)2/cosh(4)(R (2.8)当0/<k a 时,解得πωπωπωπω∙<<∙-23)2/cosh(423)2/cosh(4k a (2.9)由于0/<k a ,所以此时解得区域应在X 轴以下,即πωπω∙->23)2/cosh(4k a ，πωπωω∙-=23)2/cosh(4)(R2.2非线性项含53x x +的系统式(2.2)可等价为⎩⎨⎧∙∙+∙∙--==)cos(''53t a y k x x y yx ωεε (2.10)由2.1的推导过程可得本系统的同宿轨道表达式如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+±=232020)43(63)(,436)(t t t y t t x (2.11)混沌阈值范围：当0>ka 时，可得ωπωπ256)16(322322+>ka (2.12)即阈值ωπωπω256)16(32)R(2322+=(2.13)当0<ka 时，得ωπωπωπωπ256)16(32256)16(32-23222322+<<+ka (2.14)由于0<ka 时，所以此时解得区域应在x 轴以下，即ωπωπ256)16(32-2322+>ka (2.15)此时阈值为ωπωπω256)16(32-)R(2322+= (2.16)综合推导，得到混沌区域如下：I 区：不等式混沌解（2.12）；Ⅱ区：不等式混沌解（2.15）3实验结果及分析在确定出的混沌阈值区域内，我们用相轨迹图和功率谱熵方法分别确定混沌的阈值。

3.1相轨迹图所确定的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表格1 πϕ5.0,5.0=-=k表格2 0,5.0=-=ϕkw 频率a 阈值图3-1 πϕϕ5.00==和时，阈值比较图从表1、表2，以及图3-1可以看出，在(0.5,220)∈ω上，随ω的变化，a 呈现出无规律变化，这表明：混沌运动是一个类周期的随机运动。

但是在(0.5,220)∈ω上，a 大体上稳定在一定的范围内。

随着ϕ值的增大，阈值a 的取值会略微变大。

方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表3 5.0-=k ，πϕ5.0=表4 5.0-=k ，πϕ4.0=表5 5.0-=k ，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-2 当ϕ取不同值时的阈值a /频率ω曲线图从上面的表格和曲线图中，我们可以看出随着相位ϕ的减小，阈值a 也会逐渐增大。

每个相位ϕ所对应的阈值a 大致稳定在一个范围内，且呈现出不规律分布，这体现了混沌运动的内在随机性。

3.2 用功率谱熵判别得到的阈值方程：)cos(5.03ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表6 0,5.0=-=ϕk表7 πϕ5.0,5.0=-=kw 频率a 阈值图3-3两种方法确定的阈值比较图从上图中我们可以看出，用功率谱熵的方法确定的阈值大体上与用相轨迹图法确定的阈值相同，一些频率点上的阈值比相轨迹法得出的阈值稍小。

这可能是由于在使用相轨迹图法进行测量的时候，产生的观察误差造成的。

方程：)cos(5.053ϕω+=-+'-''t a x x x x 所描述的混沌系统阈值如下：表8 5.0-=k ，5.0=4.0=表105.0-=k，πϕ3.0=w 频率a 阈值图3-4 两种方法确定的阈值比较图从上图中可以看出，两种方法所得出的阈值几乎完全吻合。

3.3两种方法比较相轨迹图法：直观法简单易行,可直接观察相轨迹图，从而确定阈值。

操作简单，不需要编写复杂的程序。

但耗时长，且容易出现误判。

功率谱熵的方法：该方法属于定量分析的方法,准确性高,任何时域微小的变化都能通过功率管谱熵反应出来，所以具有较高的准确性。

且用功率谱熵的方法，进行仿真时，我们可以把一些含相同参数的模块集成，这样便于修改参数，提高仿真效率。

由于在用simulink 模块进行仿真时，无需复杂的计算和画图，所以仿真运行速度比直观法提高了数倍。

用此方法需要注意的是：对功率谱进行N点的FFT变换的时候，N的取值应当适当的大一些。

（a）集成后的系统框图图3-5图3-6 相轨迹图法框图从图3-5和3-6中可以看出，3-5所示模型，即用功率谱熵方法的模型，比用相轨迹方法的模型更便于修改参数。

设置图3-5中的示波器，使其输出相应的仿真数据到workspace。