杭州学军中学2020学年第一学期期末考试
高一数学试卷
一、选择题（1-8为单选题，每题一个正确答案，每题4分；第9题和第10题为多选题，少选和错选均不
给分，每题4分；合计40分）
1．若全集{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4}M =，{2,3}P =，则集合{5,6}=（ ）
A ．M P ⋃
B ．M P ⋂
C ．
(
)()U
U M P ⋃
D ．
(
)()U
U M P ⋂
2．命题p ：“*
N x ∀∈，11
22
x
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭”的否定为（ ）
A ．*
N x ∀∈，1122
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
B ．*
N x ∀∉，1122
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
C ．*
0N x ∃∉，011
22
x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
D ．*
0N x ∃∈，011
22
x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
3．设sin33a =︒，cos55b =︒，tan37c =︒，则（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
4．函数2
()22x x
x f x -=+的图象大致是（ ）
A
B
C
D
5．如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AD a =，AB b =，则OC =（ ）
A ．
36
a b - B ．
36
a b + C ．
233
a b + D ．
233
a b -
6．将函数sin 26y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象上各点沿x 轴向右平移
6
π
个单位长度，所得函数图象解析式可以是（ ） A ．sin 2y x =
B ．sin 23y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．cos 2y x =-
D ．cos 2y x =
7．设函数()y f x =，x R ∈，则“|()|y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．已知定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当10x -≤<时，2
()f x x =，则方程
1
()02
f x +
=在[2,6]-内的所有根之和为（ ） A ．12
B ．6
C ．4
D ．2
9．（多选题）在ABC 中，三边长分别为a ，b ，c ，且4abc =，则下列结论正确的是（ ）
A ．2
2
4a b ab <+ B ．4ab a b ++> C ．2
2
4a b c ++>
D ．4a b c ++<
10．（多选题）如图，直角ABC 的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点B ，C 分别在x 轴正半轴．．．和y 轴正半．．
轴．
上滑动，点A 在线段BC 的右上方则（ ）
A ．||OA OC +有最大值也有最小值
B ．OA O
C ⋅有最大值无最小值 C ．||OA BC +有最小值无最大值
D ．OA BC ⋅无最大值也无最小值
二、填空题（11-13每空3分，14-17题每空4分，合计34分）
11
．已知函数2,0
()0
x
x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则(3)f -=________；[(4)]f f =________．
12．若ABCD 是边长为2的菱形，且3
BAD π
∠=
，则AB AD ⋅=________，||AB CB -=________．
13．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-，则函数()f x 为________函数（奇偶性判断），函数()f x 的单
调递增区间是________．
14．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2
π
ϕ<
）的部分图象如图所示．则函数()
y f x =的解析式为________．
15．某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的
小路（如图阴影部分所示），大棚占地面积为S 平方米，其中:1:2a b =，若要使S 最大，则y =________．
16．若正实数x ，y 满足20x y xy +-=，则2x y +的最小值为________．
17．已知函数()|sin 2cos 2||sin cos ||(1)sin (1)cos |f x a x x x x a x a x =+++⋅++-，a R ∈，且函数
()y f x =的最大值为5，则实数a =________
．
三、解答题（18-19每题8分，20-22每题10分，合计46分） 18．求下列各式的值：
（Ⅰ）()13
2227log log 16lg 2lg 508-
⎛⎫
+++
⎪⎝⎭
；
．
19．某疫苗公司生产某种型号的疫苗，2016年平均每箱疫苗的成本5000元，并以纯利润20%标定出厂价．2017年开始，公司更新设备、加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低2020年平均每箱疫苗出厂价仅是2016年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率． （Ⅰ）求2020年的每箱疫苗成本；
（Ⅱ）以2016年的生产成本为基数，求2016年至2020年生产成本平均每年降低的百分率（精确到
0.01）． 1.414= 2.236=，lg 20.301=，lg30.477=）．
20．设函数2
()cos 22sin 3f x x x π⎛
⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
． （I ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）若,42ππα⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，且2()5f α=，求sin 2α．
21．已知函数2
()1ax b
f x x +=
+是定义在R 上的奇函数，且1225
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （I ）确定函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）若存在实数θ，使得不等式(
)2
(sin 2)2sin 10f f t θθ-+++<成立，求正实数．．．t 的取值范围．
22．设函数2
()(,)f x x ax b a b R =-+∈．
（I ）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；
（Ⅱ）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当[0,]x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数
b 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．B 8．A 9．ABC 10．BD
11．
18；1
4
12．2； 13．偶；(2,0)-
14．2sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
15．45 16．8 17．18．（I ）原式214
2233
=
++=．
（Ⅱ）原式
=
=
19．（I ）5000(120%)80%(150%)3200⨯+⨯÷+=元．
（Ⅱ）450000(1)32001111%
x x -=⇒==≈．
20．（I ）1()cos 221cos 22f x x x x =
+-1sin 26x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 当226
2x k π
π
π+
=-
+，即,3x x
k x k z ππ⎧⎫
∈-+=∈⎨⎬⎩⎭
∣时，max ()2f x =． （Ⅱ）21sin 265πα⎛
⎫
-+
= ⎪⎝
⎭，3sin 265
πα⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭，
341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=⋅=
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦． 21．（I ）2
()1x
f x x =
+，易证在(1,)+∞递减， （Ⅱ）()2
2sin
1(2sin )f t f θθ++<-，
22sin 1t θφ++>，2sin 1θ-≥， 22sin 12sin t θθ∴++>-，
()
2min
2sin sin 12t θθ∴>--+=-，(0,)t ∴∈+∞．
22．（I ）2
()2f x x x b =-+，(0)f b =，
(3)3f b =+，(1)1f b =-，max 3,1|()|1,1b b
f x b b +-≤⎧=⎨-<-⎩
．
（Ⅱ）由2(0)6f b ≤=≤知[2,6]b ∈，
26(0)b b
x a x x b x x
---≤-≤-<≤递减，
递增，)b 递减，
6
(3)(1236)0b
b b b b
-∴-≤
-⇒-++≤， 3b ∴≤，综上：[2,3]b ∈．。