习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112pn n n n n nc n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。

对一切上，迭代过程],[cos 21),(01b a x x x k k ∈=∞-∞+2,1,2.,22,2.6110=+=+==-n I I I I n n 则有解：记由上述迭代格式之迭代函数为x n +=2)(ϕ，则21)2(21)('-+=x x ϕ故对于任意的x>0，均有12121)('<+=xx ϕ迭代是收敛的。

不妨假设,lim I I n =则有 I I I I +=+=222即解之得I=2,及I=-1,负根不合题意舍去，故22222lim ,2lim =++++=∞→ 即nn I7. 证明： （1）2312()1,()x x x xϕϕ'=+=- []1.3,1.6x ∈时，[]222111()11,1 1.3,1.61.6 1.3x x ϕ⎡⎤=+∈++⊂⎢⎥⎣⎦且()22()0.9111.3x ϕ'≤≈<所以迭代过程1211k x x +=+在区间[1.3,1.6]上收敛。

（2）()2322()()13x x x x ϕϕ-'==+当[]1.3,1.6x ∈时，[]() 1.3,1.6x ϕ∈⊆()()523322228()1,()139x x x x x ϕϕ--'''=+=-+令()0x ϕ''>得()x x ϕ'<∴在x ⎡∈⎣上单调递增。

在)x ∈+∞单调递减。

又(1.6)0.461,(1.3)0.451ϕϕ''≈<≈<[]1.3,1.6x ∴∈时，()1x ϕ'<所以迭代过程1k x +=在区间[1.3,1.6]上收敛。

18.解：方程x 3-a=0的根x*=3a .用Newton 迭代法1,0,33232231=+=--=+k x ax x a x x x kk k k k k 此公式的迭代函数2332)(xax x +=ϕ 则33232)('xax •-=ϕ . 由于02)('.0)(''3≠==**ax x ϕϕ 故迭代法二阶收敛。

19.解：因f(x)=(x 3-a)2,故f'(x)=6x 2(x 3-a)由Newton 迭代公式：,1,0,665)(6)(,1,0,)(')(2322311=+=---==-=++n x a x a x x a x x x n x f x f x x nn n n n n n n n n n 得下证此格式是线性收敛的 因迭代函数则又而,,365)(',665)(332a x x ax x a x x =-=+=*-ϕϕ 0213165)(3165)('333≠=-=-=-a a ϕ故此迭代格式是线性收敛的。

21.解：由于要求不含开方，又无除法运算，故将计算)0(1>a a等价化为求012=-xa 的正根。

而此时有322)(',1)(x x f x a x f =-= 故计算a1的Newton 迭代公式为n n n n nnn n x x a x a x x x a x x )223(2232123321-=-=--=+24.解：牛顿法迭代公式为:104320102)(')(2231++-++-=-=+k k k k k k k k k k x x x x x x x f x f x x 快速弦截法的迭代公式为:102220102)()()()(1211223111+++++-++-=---=-----+k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x第六章 2（2） 解3112223112221232355347634763476235501335133505293476347605290529000364,1,2x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→----→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦∴=-==7. 解：424217104109TA LDL A =-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1216513212213310040010,01603004114()106181623234T T L D L DL x bx y Ly b y x L x D y y x -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦=⎧⎪=-=⎧⎪=⎧⎪⎪==-⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-⎩⎪=⎪⎩补充一些计算题1 分别运用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx ex⎰1（要求小数点后至少保留五位）解：运用梯形公式()()[][]8591409.1212101=+=+-≈⎰e e bf a f ab dx e x运用Simpson 公式()()()7188612.14612461210=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛++-≈⎰e e e bf b a f a f a b dx x f ba运用Cotes 公式3114241010********* 1.71828268890xe dx e e e e e ⎡⎤≈++++=⎣⎦⎰ 2 利用复化 Simpson 公式计算积分dx xI ⎰+=1011（将积分区间5等分） 解：区间长度b-a=1,n=5,故2.051==h ，节点()1...50、==i ih x i ，在每个小区间[1i i x ,x +]中还需计算221hx xi i +=+，i=0，1….4。

()()()69315.01119.0117.0115.0113.0111.01148.0116.0114.0112.01120115161246101216=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⨯++⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∑-==+n i n i i i b f x f x f a f n s 3. 用欧拉法求初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧=++=00133y yx dxdy (取步长h=0.1，结果至少保留六位有效数字，迭代4步)解：欧拉格式为由计算得：4.用改进的欧拉法求解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+-=0)0(20,121'2y t t ty y 要求步长h=0.5，计算结果保留6位小数。

解：改进欧拉法的计算公式为[]⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=++++ 2,1,0,)~,(),(2),(~1111n y t f y t f h y y y t hf y y n n n n n n n n n n 将h=0.5，2121),(t tyy t f +-=代入得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+=+-+=+++++12112121~1115.0)15.0(~n n n n n n n n n n n n n y t t y t t y y y t t f y y由00=y 计算得921025.0)0.2(,924049.0~787596.0)5.1(,817500.0~635000.0)0.1(,740000.0~400000.0)5.0(,500000.0~44332211=≈==≈==≈==≈=y y y y y y y y y y y y 5.对初值问题y'=-y+x+1 , y(0)=1取步长h=0.1，用经典四阶龙格—库塔法求y(0.2)的近似值，并求解函数xe x y -+=在x=0.2处的值比较。

解：经典四阶龙格—库塔格式为() 3,2,1,),()2,2()2,2(),(226342312143211=⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+n hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n nn n n n n将f(x,y)=1+x-y 及h=0.1代入得() 3,2,1.0,)1.0()1.0(1)05.0()05.0(1)05.0()05.0(112261.0342312143211=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+-++=+-++=+-++=-+=++++=+n k y x k k y x k k y x k y x k k k k k y y n n n n n n n n n n因初值10=y ，则 n=0时004837500.1)22(61.0)1.0(095250000.0,047500000.0050000000.0,000000000.0432*******=++++=≈====k k k k y y y k k k kn=1时018730901.1)22(61.0)2.0(181348271.0,138142281.0140404375.0,095162500.0432*******=++++=≈====k k k k y y y k k k k精确解9010187307530.12.0)2.0(2.0=+=-ey误差为721047.1)2.0(-⨯≈-y y6. 给定线性方程组12310.40.410.410.820.40.813x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦试建立求解该方程组的矩阵形式的高斯-塞德尔迭代公式,并判断该公式是否收敛,如果收敛,以x 0=[0.5 0.5 0.5]T为初始向量迭代一步. 解：10.40.40000.410.8,0.400,0.40.810.40.8000.40.4100000.8,010000001A L U D ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦有()1(1)()1(1)()11(1)()22(1)()33()00.40.4 3.7500.160.64 1.87500.0320.6720.625k k k k k k k k x D L Ux D L bx x x x x x -+-+++=-+++⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 令()1()k G D L Ux -=-+显然 0.81G∞=<，迭代过程收敛。