1 如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，其中点O为坐标原点，点A的坐标为（3，0），∠ABO=60°.（1）若△AOB的外接圆与y轴交于点D，求D点坐标.（2）若点C的坐标为（-1，0），试猜想过D、C的直线与△AOB的外接圆的位置关系，并加以说明.（3）二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上，求此函数的解析式.2 如图（4），正方形111OA B C的边长为1，以O为圆心、1OA为半径作扇形1111OAC AC，与1OB相交于点2B，设正方形111OA B C与扇形11OA C之间的阴影部分的面积为1S；然后以2OB为对角线作正方形222OA B C，又以O为圆心，、2OA为半径作扇形22OA C，22A C与1OB相交于点3B，设正方形222OA B C与扇形22OA C之间的阴影部分面积为2S；按此规律继续作下去，设正方形n n nOA B C与扇形n nOA C之间的阴影部分面积为nS．（1）求123S S S，，；（2）写出2008S；（3）试猜想nS（用含n的代数式表示，n为正整数）．3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：I D=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，AD x=，DE y=，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．4 如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧BD的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．（1）求证：DEC△∽ADC△；（3分）（2）试探究四边形ABCD是否是梯形？若是，请你给予证明并求出它的面积；若不是，请说明理由．（4分）（3）延长AB到H，使BH＝OB．1B2B3A1A2A3OCCC图4S2S1S3求证：CH是⊙O的切线．（3分）5 如图10，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为BC上的一动点．（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BEBC BD？请说明理由；（2）若AB∥OD，点D所在的位置应满足什么条件？请说明理由；（3）如图11，在（1）和（2）的条件下，四边形AODB是什么特殊的四边形？证明你的结论．6 如图1，已知正方形ABCD的边长为点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点（P不与M，D重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E．（1）除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？（2）求四边形CDPF的周长；（3）延长CD，FP相交于点G，如图2所示．是否存在点P，使BF*FG=CF*OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．G7 如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB，的长是方程212270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．（1）求M 的直径．（2）求直线ON 的解析式．（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．·M · AFCOP E D图1图1图21 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,∴∠ADO=60°…..1分由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=ODOA,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（0，3）……………3分（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下: 由（1）得OD=3 ,OA=3. ∴2222(3)323AD OD OA =+=+=.又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.∴22221(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,∴CD 2+AD 2=22+(23)2=42=AC 2…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）.如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点. 由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F.M EFN∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分由（1）、（2）得OA=3，.∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=12∴MN ===∴-2=22=2.∴点E 的坐标是(32 , 2)，点F 的坐标是(32, -2)……..8分当点E 为抛物线顶点时，有32(32a=.∴y=即y=2…………………………9分当点F 为抛物线顶点时，有3(3-3)a=-2,a=9.∴y=9x(x-3).即y=9x 23-x.故二次函数的解析式为y=3-x 2x 或y=9x 23-x ….10分2 （1）2211π1π1144S =-=-； ····················· 2分 222121ππ24228S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ···················· 4分22321221ππ22422416S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ················ 6分（2）2008200720091π22S =-； ························ 8分（3）111π22n n n S -+=-（n 为正整数）． ··················· 10分3 (1) 证明： 如图，∵ 点I 是△ABC 的内心，∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分 ∵ ∠CBD =∠CAD ，∴ ∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分 ∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分 (2)解：如图，∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ，∴ △ABD ∽△BED ． …………………………7分∴BD ADDE BD=． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分 ∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分 又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x =．（610x <≤） …………………………10分说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分．4 （1）证明：∵C 是劣弧BD 的中点， ∴DAC CDB ∠=∠． ···································· 1分 而ACD ∠公共，∴DEC △∽ADC △． ·································· 3分（2）证明：连结OD ，由⑴得DC ECAC DC=， ∵ 1.213CE AC AE EC ==+=+=， ∴2313DC EC =⨯= ． ∴3DC = ．···························································································· 4分由已知3BC DC ==AB 是⊙O 的直径， ∴90ACB ∠=︒ ，∴222223312AB AC CB =+=+=．∴23AB = ∴3OD OB BC DC ====， ∴四边形OBCD 是菱形． ∴DC AB DC AB <∥，， ∴四边形ABCD 是梯形． ········································· 5分 法一：过C 作CF 垂直AB 于F ，连结OC ，则3OB BC OC === ∴60OBC ∠=︒． ························································································ 6分∴sin 60CFBC︒=，33sin 6032CF BC =︒==， ∴()(11393233222ABCD S CF AB DC ⨯梯形＝＋＝＋＝ ·································· 7分法二：（接上证得四边形ABCD 是梯形）又DC AB ∥ ∴AD BC =，连结OC ，则AOD △，DOC △和OBC △3 6分∴AOD △≌DOC △≌OBC △，（3）证明：连结OC 交BD 于G 由（2）得四边形OBCD 是菱形， ∴OC BD ⊥且OG GC =． ········································································· 8分又已知OB ＝BH ， ∴BG CH ∥． ························································· 9分 ∴90OCH OGB ∠=∠=︒ ， ∴CH 是⊙O 的切线． ········································ 10分5 解： （1）添加 AB =BD ····································································································· 2分 ∵AB =BD ∴AB =BD ∴∠BDE =∠BCD ········································································ 3分 又∵∠DBE =∠DBC ∴△BDE ∽△BCD∴BD BEBC BD=······························································································································· 4分 （2）若AB ∥DO ，点D 所在的位置是BC 的中点 ················································ 5分∵AB ∥DO ∴∠ADO =∠BAD ······························································ 6分 ∵∠ADO =∠OAD ∴∠OAD =∠BAD ∴DB =DC ········································ 7分 （3）在（1）和（2）的条件下，．∵AB =BD =DC ∴∠BDA =∠DAC ∴ BD ∥OA 又∵AB ∥DO ∴四边形AODB 是平行四边形 ···································· 9分 ∵O A =OD ∴平行四边形AODB 是菱形 ·········································· 10分6 解：（1）FB ＝FE ，PE ＝PA ·································································· 2分（2）四边形CDPF 的周长为FC ＋CD ＋DP ＋PE ＋EF ＝FC ＋CD ＋DP ＋PA ＋BF ································· 3分＝BF ＋FC ＋CD ＋DP ＋PA ································ 4分 ＝BC ＋CD ＋DA ····································· 5分＝3＝ ······································· 6分（3）存在．7分若BF FG CF OF =,则BF CFOF FG=∵ cos ∠OFB ＝BF OF ，cos ∠GFC ＝CFFG∴ ∠OFB ＝∠GFC又 ∵ ∠OFB ＝∠OFE∴ ∠OFE ＝∠OFB ＝∠GFC=60 ······················································ 8分 ∴ 在Rt OFB △中 FE ＝FB ＝tan 60OB＝1∴ 在Rt GFC △中CG ＝()tan tan 60231tan 6063CF GFC CF ∠==-=-∴ 6DG CG CD =-=-∴ tan tan 30233DP DG PGD DG =∠==- ································· 9分∴ ()33AP AD DP =-== ····································· 10分7 解：（1）解方程212270x x -+=，得19x =，23x =A 在B 的左侧3OA ∴=，9OB = 6AB OB OA ∴=-=OM ∴的直径为6 ·························································································· 1分 （2）过N 作NC OM ⊥，垂足为C ， 连结MN ，则MN ON ⊥31sin 62MN MON OM ===∠30MON ∴=∠又cos ONMON OM=∠ cos3033ON OM ∴=⨯=在Rt OCN △中9cos30332OC ON ===1sin 30332CN ON ===N ∴的坐标为922⎛- ⎝⎭， ·············································································· 3分 （用其它方法求N 的坐标，只要方法合理，结论正确，均可给分．） 设直线ON 的解析式为y kx =92x = k ∴=∴直线ON 的解析式为y x = ···································································· 4分 （3）如图2，1T ，2T ，3T ，4T 为所求作的点，1OT N △，2OT N △，3OT N △，4OT N △为所求等腰三角形．（每作出一种图形给一分） ···················································································· 8分。