第四章 流体动力学基本定理及其应用4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为：()p f v v t v ∇-=∇⋅+∂∂ρ1其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。

（2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流线积分。

单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为：C gz p=++ρ2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。

4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3=，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。

试确定汽化器的真空度。

又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。

汽油的重度3/7355m N =γ。

答：（1）求A 点处空气的速度：设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到：()Q v d D =-12241π， 因此：()2214d D Qv -=π。

（2）求真空度v p选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。

将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：gv p p 20211+=+γγ因此真空度为：()()222222221101842121d D Q d D Q v p p p v -⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3/226.1m kg =ρ，那么计算得到：()Pa p v 3222221095.901.004.0114.315.0226.18⨯=-⨯⨯⨯=。

（3）求喷油量：设喷油嘴处汽油的速度为2v ，并设空气的密度为1ρ，重度为1γ，汽油的重度为2γ。

选一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且：在A 点：2101A 21v p p p ρ-==，?2A ==v v ，m cm h z 5.050A ===； 在B 点：0B p p =，0B =v ，0B =z ； 代入到伯努利方程中，可以得到：00221120222102++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-γργp h gv v p ； 整理得到：gh v v 2212122-=γγ； 因此汽油喷出速度为：gh v v 221212-=γγ； 其中空气重度311/1281.9226.1m N g =⨯==ργ；()2214dD Qv -=π，并注意到喷油嘴的直径是6mm ，而不是原来的10mm ，则计算得到：()sm v /817.381.9366.245.081.92006.004.014.315.016735581.9226.122222=-=⨯⨯--⨯⨯⨯⨯= 因此汽油流量为：s cm s m v d Q /9.107/10079.1817.3006.014.341413342222=⨯=⨯⨯⨯=⋅=-π。

4-3 如图所示，水流流入U 形弯管的体积流量Q=0.01m 3/s ，弯管截面由1S =50cm 2减小到2S =10cm 2，流速1v 和2v 均匀，若2S 截面上的压力为一个工程大气压，求水流对弯管的作用力及作用点的位置。

3/kg 1000m =ρ。

答：（1）求截面1S 和2S 上的流速1v 和2v ：由连续方程可知：s m m s m /21050/01.0S Q v 24311=⨯==-， s m m s m /101010/01.0S Q v 24322=⨯==-；（2）求1S 上的压力1p ：已知2S 上的压力=2p 1个工程大气压Pa 5100.981⨯=； 由伯努利方程：gv p g v 22p 222211+=+γγ 得到：()()Pa v v p 5522212110461.1410010002110981.021p ⨯=-⨯⨯+⨯=-+=ρ。

（3）求水流对弯管的作用力P ：由动量定理可以得到：22212121P -P -P S v S v ρρ+=。

其中1P 和2P 分别为在1S 和2S 上，外界对水流的作用力；在此需要注意到，对于整个弯管，大气压力对其的作用力合力为0。

因此：1S 截面上作用力为：()()N S p p 240105010981.010164.1P 4551011=⨯⨯⨯-⨯=-=-，2S 截面上作用力为：()0P 2022=-=S p p 。

因此：()()NS v S v 3601202401010101050210240P P 424232221211=+=⨯⨯+⨯⨯⨯+=++=--ρ（4）求作用力P 的作用点：设作用点距1S 截面中心线的距离为e ，两管中心线之间的距离为L 。

由动量矩定理可以得到：L S v e P ⋅⋅⋅=⋅222ρ；即：0.27836010036010101010P L -423222==⨯⨯⨯=⋅⋅=S v e ρ。

4-4 如图所示，弯管的直径由d 1=20cm 减小到d 2=15cm ，偏转角为60°，设粗端表压力p 1=7840N/m 2，流过弯管流体的体积流量Q=0.08m 3/s ，求水作用于弯管的作用力及作用点的位置。

答：首先应注意到，表压力读数指相对压力。

也就是说，1S 截面处压力1p 和利用伯努利方程得到的2S 截面的压力2p 的值，均为相对压力。

又由于大气压力对弯管的作用力合力为0，因此在1S 和2S 截面上，均应以相对压力值计算。

（1）利用连续方程求截面1S 和2S 上的流速1v 和2v ：21114Q S Q v d π==，22224QS Q v d π==； （2）利用伯努利方程求2S 截面的相对压力2p ： 根据伯努利方程：gv p g v 22p 222211+=+γγ 可以得到：()22211221v v p p -+=ρ；（3）求管壁对流体的作用力x F 和y F ：①求x 方向作用力分量x F ：由动量定理：()0sin sin 2222-=⋅-S v v P F x αρα其中222S p P =为2S 截面上外界对管内流体的作用力；整理得到：()()()()NS d d Q p S d Q d Q p Sv v p S vv v p S v p S v P F x 32615.0142.3412315.012.01142.308.01087840sin 118sin 161621sin 21sin 21sin sin 2442232424122124222412212222112222221122222222=⨯⨯⨯⋅⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=⋅+=+=απραππραραρραρρα②求y 方向作用力分量y F ：由动量定理：()22211121cos cos S v v S v v P P F y ⋅⋅+⋅-=-+-αρρα，其中111S p P =为1S 截面上外界对管内流体的作用力，整理得到：()()()NS v p S v p S v P S v P F y 26218845033262.0142.3412.0142.308.016107840cos cos 242232222121122221211=-=-⨯⨯⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯⨯+=+-+=+-+=αρραρρ （4）求力的作用点：如图所示，设流体对弯管的作用力x F 和y F 与x 轴和y 轴的距离分别为y e 和x e ，由于1S 和2S 上所有外力和流体动量均通过坐标原点，由动量矩定理可知0==y x e e ，即合力作用点通过坐标原点。

4-5 如图所示，平板垂直于水柱方向，设水柱流来的速度为v 0=30m/s ，水柱的体积流量Q=294m 3/s ，分流量Q 1=118 m 3/s 。

试求水柱作用在平板上的作用力和水流偏转角α。

设液体的重量和粘性可略去不计，水柱四周的压力处处为大气压。

答：（1）由伯努利方程可知021v v v ==；（2）设流束宽度分别为0b ，1b 和2b ，则有00/Q v b =，01111/Q /Q v v b ==；又由连续方程可知：12Q -Q Q =因此：()()01212/Q -Q /Q -Q v v b ==；（3）应用动量定理求平板对流体的作用力和偏转角： ①求偏转角度α：在y 方向，平板对流体的作用力0=y F ，即：()()222111sin 0b v v b v v αρρ+-=；整理得到：0sin 222121=+-b v b v αρρ将021v v v ==代入，可以得到：()67.0118294118//sin 11010121=-=-=-==Q Q Q v Q Q v Q b b α， 即：8.41=α。

②求x 方向作用力分量x F ：由动量定理得到：()()222000cos b v v b v v F x αρρ+-=-整理得到：()()[]()[])(1088.48.41cos 1182942943010cos cos cos 6310010202020N Q Q Q v v Q Q v Q v b b v F x ⨯=--⨯⨯=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-= αραραρ4-6 图示水箱1中的水经光滑无阻力的圆孔口水平射出，冲到一平板上。

平板封盖着另一水箱2的孔口，水箱1中的水位高度为h 1，水箱2中的水位高度为h 2，两孔口中心重合，而且直径d 1=d 2/2。

若射流的形状是对称的，冲击到平板后转向平行于平板的方向，并向四周均匀流出。

假定流动是无粘性不可压定常的，平板和水质量力不计。

当已知h 1和水的密度ρ时，求保持平板封盖住水箱2的孔口是h 2最大值。

答 ：（1）求水箱1出口处速度1V ：在水箱1的自由液面上选取A 点，在出口截面上选取B 点； A 点：0p p A =，0=A V ，1h h A =， 其中0p 为大气压力； B 点：0p p B =，?1==V V B ，0=B h 。

由过A 、B 两点的伯努利方程：B B B A A A gh pV gh p V ++=++ρρ222121 得到：021********⋅++=++⋅g pV gh p ρρ； 因此：1212gh V =，112gh V =；（2）求水流对封板的作用力P ：由动量定理，沿垂直于封板的方向：21112122121212414141)(0d gh gh d v d d v v P B B B πρπρπρπρ=⋅==--=；（3）求水箱2的最大高度m ax h ：在封板右侧，水箱2形心处的静压力为max gh p ρ=，因此封板受到水箱2的静水压力：22max 224141d gh d p P πρπ=⋅='。