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平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例 中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移 变换算子即可得到最后的列阵表达式。
E Trans(4,3,7) Rot( y,90) Rot( z,90)u
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A 齐次变换矩阵 BT 的数学意义：
A
B pB 0 C R 1 0
B
pC 0 1
复合变换可解释为：
B A (1) CT 和 CT 分别代表同一坐标系{C}相对于{A}和{B}的描述。则
A B
T 表示坐标系{C}从
B C
T
A 映射为 C T 的变换。
A (2)坐标系{C}相对于{A}的描述 C T 是这样得到的：最初{C} 与{A}重合，首先相对于{A}作运动 A ，到达{B},然后相 BT B 对{B}作运动 CT ，到达最终位置{C}。
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例 动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作 (-1,2,2)平移后到{A’}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即 动系)的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到{A’’}。已知A, 写出坐标系{A’}、 {A’’}
0 1 0 1 0 0 A 0 0 1 0 0 0
机器人学基础
——齐次变换矩阵及其运算
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齐次变换矩阵及其运算
由于各种原因，变换矩 阵应写成方型形式，3*3 或4*4均可. 为保证所表示的矩阵为 方阵，如果在同一矩阵 中既表示姿态又表示位 置，那么可在矩阵中加 入比例因子使之成为4*4 矩阵。
nx n F y nz 0
ox oy oz 0
{A}
坐标系{B}由坐标系{A}绕 k 轴旋转 角得到。
k
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旋转变换通式
再定义两坐标系{A’}和 {B’}，分别与{A}和{B}固接，但要求 (1){A’}和 {B’}的z轴与k重合。 (2)旋转之前{A’}和 {B’}重合， {A}和{B}也重合。 A z A B
pB 0 1
A B A T R 1 B R
B B AR AT 0
B
p A0 1
利用旋转矩阵正交性
利用复合变换公式(2.13) ,求出
A
pB 0
在{B}中描述。
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B A
B A ( pB0 ) A R pB0 BpA0 0
B
p A0 R pB 0 R
0 sin 1 0 0 cos 0 0
0 0 0 1
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如图所示单操作手臂，并且手腕 也具有一个旋转自由度。已知手 部的起始位姿矩阵为G1.
若手臂绕Z0轴旋转90°，则手臂 到达G2；若手臂不动，仅手部绕 手腕Z1轴转90°，则手部到达 G3.写出手部坐标系G2、G3表达 式。
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3．复合齐次变换
复合变换是由固 定参考坐标系或 当前运动坐标系 的一系列沿轴平 移和绕轴旋转变 换所组成的。任 何变换都可以分 解为按一定顺序 的一组平移和旋 转变换。
相对于固定坐标系
算子左乘
相对于动坐标系
算子右乘
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已知坐标系中点U的位置矢量 u 7 3 2 1 ，将此点绕 Z轴旋转90°，再绕Y轴旋转90°，如图所示，求旋转变 换后所得的点W。
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5.变换矩阵求逆
如果知道坐标系｛B｝相对于｛A｝的描述。希望得到｛A｝相对 于｛B｝的描述，这是个齐次变换求逆问题。
B 求逆问题可以描述为：已知 A ，求解 AT 。 BT
•对4*4矩阵直接求逆；
•利用齐次变换矩阵的特点，简化矩阵求逆运算。
A A BR BT 0 A
ax ay az 0
px py pz 1
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变换可定义为空间的一个运动。
已知一直角坐标系中的某点坐标，那么该点在另一直角坐标系中的
坐标可通过齐次坐标变换来求得。 变换可分为如下形式： 纯平移 纯旋转 平移与旋转的结合
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1.平移的齐次变换
0 1 0 0
0 x cos sin 0 y 1 z Rot( z, ) 0 0 1 0
sin cos 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1
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A C
B T A BT CT
4．变换矩阵相乘
对于给定的坐标系｛A｝、｛B｝、｛C｝，已知｛B｝相对 A B ｛A｝的描述为 BT ，｛C｝相对｛B｝的描述为 C T ，则
T-1 =
式中的 “ . ” 表示向量的点积。
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计算T矩阵的逆矩阵。
0.5 0.866 T 0 0 0 0.866 3 0 -0.5 5 2 1 0 5 0 0 1
0.5 0.866 0 (3 0.5 2 0.866 5 0) 0 0 1 (3 0 2 0 5 1) 1 T 0.866 0.5 0 (3 0.866 2 0.5 5 0) 0 0 1 0
B T B T B W T W T TT
S G T B T T TT S G
令上面两式相等，则得变换方程
B W B S G TW T T TT T ST G
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变换方程中的任一变换矩阵都可用其余的变换矩阵来表 示。例如，为了对目标物进行有效操作，工具坐标系{T}相对于 B 目标坐标系{G}的位姿 G 是预先规定的，需要改变 T W T 以达到 T B 这一目的，即通常规定 G ，求 W TT T 。
{B}代表基座坐标系； {W}代表腕部坐标系； {T}代表工具坐标系；
B S
{S}代表工作站坐标系；
{G}代表目标坐标系； 它们之间的位姿关系用相应
T 描述工作站坐标系相对于基座的位姿； T 描述目标坐标系相对于{S}的位姿；
T 描述腕部{W}相对于基座{B}的位姿；
………………
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2．旋转的齐次变换
点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x, y, z)绕Z轴旋 转θ角后至A’(x’, y’, z’),则A与A’之间的关系为 ：
x' x cos y sin y ' x sin y cos z' z
x' cos y ' sin z' 0 1 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 x y z 1
B B C p C T p
A
B A B C p A T p T p B BT C
从而定义复合变换
A C
。
B T A T B CT
表示｛C｝相对于｛A｝的描述，是两变换矩阵的乘积。
注意：变换矩阵相乘不满足“交换律”，变换矩阵的左乘 和右乘的运动解释不同。
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A A A B BR CT BT CT 0
（1）同一点在不同坐标系{B}和{A}中的变换； （2）描述坐标系{B}相对于坐标系{A}的位置和方位； （3）点的运动算子。
A B p A T p B
0 1 A BT 0 0
0 0 1 0
1 1 0 3 0 4 0 1
1 0 T rans (x, y, z ) 0 0
S G
B W
的齐次变换来描述。
对物体进行操作时，工具坐标系{T}相对于目标坐标系{G}的位 姿 G 直接影响操作效果。它是机器人控制和规划的目标。 TT 实际上，它与其他变换之间的关系类似于空间尺寸链，
G T
T 则是封闭环。如图所示，工具坐标系{T}相对于基座坐标系{B}
的描述可用两种变换矩Байду номын сангаас的乘积来表示：
空间某一点在直角坐标系中的平移,由 A(x, y, z)平移至A′(x′, y′, z′), 即
x ' x x y ' y y z ' z z
x' 1 y ' 0 z ' 0 1 0 0 0 x 1 0 y 0 1 z 0 0 1 x y z 1
B A A A B
A T B BR T A 0
T A
pB 0
A T A B R pB0 1
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下面我们写出变换矩阵的一般表达形式 nx ox ax px ny oy ay py T = nz oz az pz 0 0 0 1 式中 n, o, a 是旋转变换列向量，p 是平移向量，其逆是 nx ox ax 0 ny nz - p.n oy oz - p.o ay az - p.a 0 0 1
记为: a′=Rot(z, θ)a
旋转算子
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绕Z轴旋转算子内容为：
cos sin Rot( z, ) 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：
0 1 0 cos Rot( x, ) 0 sin 0 0 0 sin cos 0 0 cos 0 0 Rot( y, ) 0 sin 1 0
k
z B z A
nx n A B R R A B y nz
ox oy oz