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考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）(A)-12 (B)12(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S 【答案】1533.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，ABD ∆然后在中，由正弦定理解得AD.【精讲精析】在ABC ∆中，由余弦定理易得2223cos 22223AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯30,30.C B ABD ∴∠=︒∴∠=︒∆在中，, 2.1sin sin 22AD AB AD AD B ADB =∴∴=∠由正弦定理得： 24.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】3求得AC ，然后再用余弦定理求得AB . 【精讲精析】在ABC ∆中，由面积公式得11sin 2sin 6022S BC CA C AC =⋅⋅=⨯⋅⋅︒ 33,2,AC AC =再由余弦定理，得： 222221+2cos 2222242AB BC AC AC BC C -⋅⋅=+-⨯⨯⨯=＝，2AB ∴=. 【答案】25.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） 在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC +，统一角变量，然后求最大值. 【精讲精析】 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得32,sin sin sin 3a c ACA C B====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C +314(sin )4sin 232C C C C +=+7+)C ϕ=(其中3tan )ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为7.【答案】76.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1sin 2ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积. 【精讲精析】设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得21492525()2a a =+-⨯⨯-，解得3a =，11sin 35sin12022ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯︒153= 【答案】15347.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则sin A = ；a = . 【思路点拨】先利用切化弦和平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】22sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22A A A A A =∴=∴+= 25(0,),sin 5A A π∈∴=又.252=，所以10a =252108.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】由正弦定理得，1232a =，所以523a =. 【答案】523三、解答题2.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长，3，212cos()0B C ++=，求cosB.【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+．（1）求b a.（2）若c 2=b 23a 2，求B ． 【思路点拨】（1）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得．（2）先结合余弦定理和已知条件求出B cos 的表达式，再利用第（1）题的结论进行化简即得．【精讲精析】（1）由正弦定理得，A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，即A A AB sin 2)cos (sin sin 22=+．故A B sin 2sin =，所以2=ab（2）由余弦定理和2223a b c +=，得caB 2)31(cos +=． 由（1）知222a b =，故22)32(a c +=．可得=B 2cos 21，又0cos >B ，故=B cos 22，所以B 45=︒．11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.【思路点拨】（Ⅰ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （Ⅱ）使用余弦定理及第一问结论易知a 和c 的值，然后利用面积公式求解. 【精讲精析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B 则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C Bsin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=. 另解：在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得 cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得 22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，S 21115sin 121cos 22ac B B ==⨯⨯-=，即15S =12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （1）求sin sin CA的值. （2）若cos B =14，5b ABC 的周长为，求的长.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （2）由周长得出，a 和b 之间的关系b=5-3a ，再将b=5-3a 代入余弦定理求得a 和b. 【精讲精析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b =2sin sin sin C AB-, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-， 即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，a=5(舍去) 所以b=2.13.（2011·湖南高考理科·T17）和（2011·湖南高考文科·T17）相同 在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csin A=acos C. （1）求角C 的大小. （2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的使用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次函数常用正弦定理，如果是边的二次函数常用余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是 3cos()3cos()43cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取得最大值2．3cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==14.（2011·陕西高考理科·T18） 叙述并证明余弦定理．【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识的学习和巩固．【精讲精析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边和它们夹角的余弦之积的两倍.即在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，则有2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.证法一 如图，22a BC =()()=--AC AB AC AB222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+- 证法二 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边 分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在 直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.15.（2011·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a（Ⅰ）求cos A 的值. （Ⅱ）cos(2)4+A π的值.【思路点拨】（Ⅰ）根据余弦定理求解.（Ⅱ）利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算. 【精讲精析】（Ⅰ）由3,23,2BC b a c ba 可得所以22222233144cos .23332+-+-===⨯⨯a a a b c a A bc a a（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3=∈A A π，所以222sin 1cos 3A A2742cos 22cos 1.sin 22sin cos .99A A A A A 故所以 72422872cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A πππ16.（2011·浙江高考理科·Ｔ18）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值. (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围.【思路点拨】（1)把题目中的条件用正弦定理化为边的关系,可联立方程组解出a,c 的值.（２）角B 为锐角的充要条件为0cos 1B <<，从而得出p 的取值范围．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力. 【精讲精析】由题意得a c pb +=,214ac b =(1) 当5,14p b ==时，54a c +=,14ac =解得114114=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩a c a c 或; (2)()2222222222222cos 23(0,1)222b p b b ac ac b a c b B p b ac ac--+--+-====-∈ ∴2322p <<,又由a c pb +=可得0,p >所以622<<p 关闭Word 文档返回原板块。