第一章 弹性力学基础（习题解答）1-1 上端悬挂、下端自由的等厚度薄板，其厚度为1，容重为ρ。

试求在自重作用下的位移分量表达式。

解：如图1-1建立坐标系.利用x σ沿y 方向均匀分布及x 方向的力平衡条件0=∑x 可得，⎪⎩⎪⎨⎧==-= x l xyy x 00)(τσρσ 又因为1()()x y u u l x x E Eρσσ∂=-=-∂ )()(1x l Eu u E y vx y --=-=∂∂ρσσ 积分得)()21(12y f x lx u +-=Eρ)()(2x f y x l uv +--=Eρ又由对称性 0)(020=⇒==x f v y 由 2110()2xy u v f y uy y x Eτρ∂∂=+=⇒=-∂∂ 综上所述有2221)21(uy Ex lx u ρρ--=Ey x l uv )(--=Eρ（方法二：只分析出x σ，再求应力函数，然后求其他。

）1-2 写出图1-2所示平面问题的应力边界条件。

解：上表面为力边界，100＝，＝，＝，m l q lxl X --=Y 。

代入x xy xy y l m Xl m Yσττσ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 中得到上表面的边界条件为00=--=xy y x q lxl τσσ；＝； 下表面为自由边，边界条件为000==xy y x τσσ；＝；侧面为位移边界。

1-3 矩形板厚为1。

试用应力函数22A xy ϕ=求解。

（并画出面力分布图）解：应力函数22A xy ϕ=满足应力函数表示的变形协调方程，可以作为解。

在无体力的情况下，矩形板的应力为22x Ax yϕσ∂==∂220y xϕσ∂==∂2xyAy x yϕτ∂=-=-∂∂根据应力边界条件公式x xy xy y l m X l m Yσττσ+=+=各边的应力边界为a d 边： 0,1l m == 20A X Ay h Y ⎧=-=-⎪⎨⎪=⎩ c b 边： 0,1l m ==- 20A X Ay h Y ⎧==-⎪⎨⎪=⎩a b 边： 1,0l m =-= 0X Y Ay ⎧=⎪⎨=⎪⎩c d 边： 1,0l m == X Ax AlY Ay⎧==⎪⎨=-⎪⎩根据以上各边的应力边界条件，可画出矩形板的面力分布图如图1-3a 。

1-4 如图1-4设三角形悬臂梁只受重力作用，梁容重为ρ。

试用完全三次多项式的应力函数求解其应力分量。

解：设完全三次多项式应力函数为3223Ax Bx y Cxy Dy ϕ=+++ （1）显然应力函数满足变形协调方程40ϕ∇=则应力分量：2226x Xx Cx Dy yϕσ∂=-=+∂ （2）2262y Yy Ax By y xϕσρ∂=-=+-∂ （3）222xyBx Cy x yϕτ∂=-=--∂∂ （4）利用边界条件来确定应力函数中的系数根据上表面的边界条件，当0y =时00()0,()0y y xy y στ====代入（3）、（4）得0A =； 0B =根据斜边的边界条件，当tan y x α=⋅时，面力0X Y ==，即x xy xy y l m X l m Y σττσ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩ （5）其中：cos(,)cos(90)sin cos(,)cos l N x m N y ααα︒==+=-==代入（5）得sin (26tan )cos (2tan )0Cx Dx Cx αααα-++-= （6）cos (tan )sin (2tan )0x Cx αρααα---= （7）联立（6）、（7）得到tan 2C c ρα=⋅2tan 3D c ρα=⋅－将各系数代入应力分量表达式中，得到应力各分量为2tan 2tan tan x y xy x c y c y y c σραρασρτρα=⋅-⋅=-=-⋅1-5 对图1-5所示简支梁，试验证应力函数Fxy Ex Dxy y Cx xy B y Ax +++++=333533ϕ成立，并求解各系数和应力分量。

解：由Fxy Ex Dxy y Cx xy B y Ax +++++=333533ϕ可知：)1(0530244224444B A yy x x =+⇒=∂∂+∂∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ应力分量：F Dy Cx By y Ax y xEx Cxy Axy x Dxy Bxy y Ax y xy y x (*)335966662062242223223322⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-----=∂∂∂-=++=∂∂=++=∂∂=ϕτϕσϕσ 利用边界条件来确定待定系数上表面2h y =： )2(6343030 lq E hC A h q lx y -=++⇒-=σ F Dh Cx Bh x Ah xy -----==22422433165490τ ⎪⎩⎪⎨⎧=++=+⇒)4(043165)3(0349242F D h B hC A h下表面2hy -=：)5(0634303 E hC A h y =+--⇒=σ弯矩：)6(0220)(2222D B h A l ydy Mlx hh x lx =++⇒===-=⎰σ联立（1）～（6）可解得l h q h l q l q h l q lh q D lh q lhq lh q A 8041231045300030003030---=--=＝；＝；；＝；＝；F E C B代入（*）式可得各应力分量()()222232332222223232;103243420x y xy q xy h x y l lh q xh y h lhq h h y x y l lh σστ︒︒︒⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=--⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭34y ；1-6图1-6所示悬臂梁受自重作用,试用应力函数22335Ax y Bx y Cy Dy ϕ=+++求解。

并将所得应力分量与材料力学的结果进行比较。

解：应力函数必须满足变形协调条件，满足40ϕ∇=即444422420x x y yϕϕϕ∂∂∂++=∂∂∂∂ 将应力函数代入上式，得50B D += （1）应力分量22326620x Bx y Cy Dy yϕσ∂==++∂23222y Yy Ay By y xϕσρ∂=-=+-∂2226xyAx Bxy x yϕτ∂=-=--∂∂利用边界条件确定待定系数当2hy =±时，22()0()0y h y xy h y στ=±=±==得到23202A Bh += （2）2142A Bh ρ+= （3）联立方程（1）、（2）、（3）可解得4A ρ=2B h ρ=25D hρ=-在待定系数中，C 还没有求出。

现根据0x =截面上的条件来求C 值；因为0()0x x σ=≠，应用圣维南原理得202()0h h x x dy σ=-⎰=因为被积函数是y 的奇次函数，积分必恒等于零，此积分等式一定成立。

此外，尚需满足202()0h h x x ydy σ=-=⎰即322(620)0h h Cy Dy ydy -+=⎰得到352222240h h h h CyDy--+=2210h C D ρ=-=将各个系数代入应力分量表达式，得22226320153x y x y y h h ρσρ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 22412y y y h ρσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭223412xy y x h τρ⎛⎫=- ⎪⎝⎭材料力学的解答：设载荷q h ρ=，故在某一截面上的弯矩为21()2M x hx ρ=剪力为Q hx ρ=由此得226x M x y y J hρσ==0y σ=（假设纤维间不存在挤压）22232124341212xy h hx y QS y x h Jb h ρτρ⎛⎫⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭===- ⎪⎝⎭ 现将弹性力学的解答化为下列形式以便于材料力学解答进行比较：22320153x M y y y J h σρ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（与材料力学解不同） 22412y y y h ρσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（与材料力学解不同）xy QSJbτ=（与材料力学解一致）1-7 用图1-7所示45︒应变花测得650010x ε-=⨯，680010y ε-=⨯，64530010ε︒-=⨯试求：（1）xy γ； （2）1ε和2ε，及主方向。

解：（1）根据材料力学公式cos 2sin 2222x yx yxyαεεεεγεαα+-=+-将45α︒=，x ε，y ε，45ε︒的值带入上式。

可得645270010xy x y γεεε-︒=+-=⨯（2）主应变的计算公式122x yεεεε+⎧⎫=±⎨⎬⎩⎭可得61103010ε-=⨯，6227010ε-=⨯利用公式tan 2xyx yγθεε=-- 则17arctan 23θ=得到156.6θ︒=-，233.4θ︒=1-8 如图1-8，已知平面圆环的应力为212,0,0rA r r πτσσθθ===试检查这组 应力存在的可能性。

并阐明其边界条件。

（体力不计）解：方法（一） 因为212,0,0r A r r πτσσθθ===，由022=∂∂=r ϕσθ积分得：设)()(21θθϕf r f +=由0)()()(112''2''11222=++=∂∂+∂∂=rf r f r f r r r r θθθθϕϕσ⎩⎨⎧==+⇒f f f 0)(0)()(''2''11θθθ 由2'2212)(1)1(r A f rr r r πθθϕτθ==∂∂∂∂-= 于是可得 c Af b a f +=+=θπθθθθ2)()cos sin ()(21； 即),,(2)cos sin (为任意常数；c b a c Ar b a +++=θπθθϕ 将ϕ代入变形协调方程检验可知ϕ满足变形协调条件。

因此为212,0,0rA r r πτσσθθ===可以存在。

边界条件为：212,0,0a A a r r r πτσσθθ====时，212,0,0bA b r r r πτσσθθ====时， 1-8 题方法（二）将212,0,0rA r r πτσσθθ===代入平衡方程 ⎪⎩⎪⎨⎧=++∂∂+∂∂=+-+∂∂+∂∂K r r r K r r r r r r r r r 02101θθθθθθττθσσσθτσ 中检验⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++ r A r A 0110000033ππ 成立；由物理方程可得，将21)1()1(2,0)(1,0)(1rE u A E u u E u E r r r r r πτγσσεσσεθθθθθ-=+==-==-= 代入变形协调方程θθγθθεθεr r r r rr r r r r r )11()11()2(2222222∂∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂ 中检验,显然成立，因此这组应力可以存在。