章末检测
一、选择题
1． 已知cos α＝1
2
，α∈(370°，520°)，则α等于
( )
A ．390°
B ．420°
C ．450°
D ．480° 2． 若sin x ·tan x <0，则角x 的终边位于
( )
A ．第一、二象限
B ．第二、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限 3． 函数y ＝tan x
2
是
( )
A ．周期为2π的奇函数
B ．周期为π
2的奇函数
C ．周期为π的偶函数
D ．周期为2π的偶函数
4． 已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω
等于
( )
A ．1
B ．2 C.12
D.13
5． 函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于
( )
A ．－π2
B ．2k π－π
2(k ∈Z )
C ．k π(k ∈Z )
D ．k π＋π
2(k ∈Z )
6． 若sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin θcos θ的值是
( )
A ．－310
B.3
10
C ．±310
D.34
7． 将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标
伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是
( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π
10
D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π20 8． 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝1
2
的交点个数是
( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 9． 已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k π4＋π
2，k ∈Z }．则
( )
A ．M ＝N
B ．M N
C ．N
M
D ．M ∩N ＝∅
10．设a ＝sin
5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π
7
，则
( )
A ．a <b <c
B ．a <c <b
C ．b <c <a
D ．b <a <c
二、填空题
11．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则扇形的周长为________ cm. 12．方程sin πx ＝1
4
x 的解的个数是________．
13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如图所示，则f (7π
12
)＝________.
14．已知函数y ＝sin πx
3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．
三、解答题
15．已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)
sin (－π＋α)·tan (－α＋3π)
.
(1)化简f (α)；
(2)若f (α)＝18，且π4<α<π
2，求cos α－sin α的值；
(3)若α＝－31π
3
，求f (α)的值．
16．求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值． 17．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π
8
.
(1)求φ；
(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间；
(3)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．
18. 在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π
2
)的图象与x 轴的交点中，相
邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；
(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤
π12，π2时，求f (x )的值域．
19. 如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)(x ∈R ，ω>0,0≤θ≤π
2
)的图象与y
轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值；
(2)已知点A (π2，0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝3
2，
x 0∈[π
2
，π]时，求x 0的值．
答案
1．B 2.B 3.A 4.B 5.D 6.B 7.C 8.C 9.B 10.D 11.6π＋40 12.7 13．0 14.8 15．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α
(－sin α)(－tan α)
＝sin α·cos α.
(2)由f (α)＝sin αcos α＝1
8
可知
(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α ＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝3
4.
又∵π4<α<π2
，
∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0. ∴cos α－sin α＝－
3
2
. (3)∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π
3，
∴f ⎝⎛⎭⎫－31π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－31π3·sin ⎝⎛⎭⎫－31π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋5π3 ＝cos
5π3·sin 5π3
＝cos(2π－π3)·sin(2π－π
3)
＝cos π3·⎝⎛
⎭⎫－sin π3 ＝12·⎝⎛⎭⎫
－32＝－34. 16．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x
＝4sin 2x －4sin x －1
＝4⎝⎛⎭⎫sin x －1
22－2，令t ＝sin x ， 则－1≤t ≤1，
∴y ＝4⎝⎛⎭
⎫t －1
22－2 (－1≤t ≤1)．
∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π
6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；
当t ＝－1，即x ＝3π
2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.
17．解 (1)∵x ＝π
8
是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，
∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π
8＋φ＝±1. ∴π4＋φ＝k π＋π
2，k ∈Z . ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.
(2)由(1)知φ＝－3π
4，
因此y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π
2
，k ∈Z .
∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π
8，k ∈Z . (3)由y ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x －3π
4，知 x 0 π8 3π8 5π8 7π8 π y
－2
2
－1
1
－22
故函数y ＝
18．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.
由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π
2，
得T 2＝π
2
，即T ＝π，
∴ω＝2πT ＝2ππ
＝2.
由点M ⎝⎛⎭⎫2π
3，－2在图象上得 2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π
3＋φ＝－2， 即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π
2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π
6(k ∈Z )．
又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6， 故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤
π12，π2， ∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤
π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π
6时，
f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π
2时，
f (x )取得最小值－1， 故f (x )的值域为[－1,2]．
19．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，
得cos θ＝
32，因为0≤θ≤π
2
， 所以θ＝π
6
.
由已知T ＝π，且ω>0， 得ω＝2πT ＝2ππ
＝2.
(2)因为点A (π2，0)，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝3
2
，
所以点P 的坐标为(2x 0－π
2
，3)．
又因为点P 在y ＝2cos(2x ＋π6)的图象上，且π
2≤x 0≤π，
所以cos(4x 0－5π6)＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π
6
，
从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3，或x 0＝3π
4.。