1.5 数学建模的方法和步骤
在了解了数学模型的概念之后，如何建立 数学模型，是我们培训课程的核心，本节我们 给出建立数学模型的一般方法和步骤.
1. 明确问题（建模准备） 要建立现实问题的数学模型，第一步是对要解决的问 题有一个明确清晰的提法，通常我们碰到的某个实际问题， 在开始阶段是比较含糊不清的，又带有实际背景，因此在 建模前必须对问题进行全面、深入、细致的了解和调查， 查阅有关文献，同时要着手收集有关数据，收集数据时应 事先考虑好数据的整理形式，例如利用表格或框图形式等. 在这期间还应仔细分析已有的数据和条件，使问题进一步 明确化，即从数据中可得到什么信息，数据来源是否可靠， 所给条件有什么意义，哪些条件是本质的，哪些条件是可 以变动的等.对数据和条件的分析会进一步增强我们对问 题的了解，使我们更好地抓住问题的本质及特征，为建立 数学模型打下良好的基础.
（1）丰富灵活的想象力；
3. 提高学生综合素质和能 力
（2）抽象思维的简化能力； （3）学以致用的应用能力； （4）使用计算机的动手能力； （5）信息资料的查阅能力； （6）与时俱进的开拓能力； （7）解决问题的创新能力；
（8）团体协作的攻关能力。
1.3 数学建模的学习内容（学什么）

第一阶段：建模基础理论培训（共18课时) 建模绪论（2课时） 刘莉主讲 线性代数（8课时） 刘传宝主讲 线性规划（4课时） 刘莉主讲
2. 教育改革的需要 它把数学从“教师+黑板+粉笔”的传统教学 模式转变为“以教师为主导，以学生为主体，从 实际问题入手，把数学知识、数学软件、计算机 有机地结合，学生自己设计实验步骤创造性地解 决问题”的现代教学模式。数学建模本身就是教 学方式、教学内容、教学手段上的教学改革，是 数学教育走向素质教育的必然趋势。
概率统计基础（4课时）高峰主讲

第二阶段：建模方法和软件培训（共28课时) 初等数学建模（4课时） 微分方程建模（4课时） 运筹学建模（4课时） 统计方法建模（4课时） 数据拟合方法（4课时） Matlab软件入门（4课时） Lingo软件的使用（4课时）

第三阶段：暑期集中培训阶段（70课时）
杂化.二是要善于借鉴已有问题的数学模型，
许多实际问题，尽管现象和背景不同，但却具有相同的模 型，例如力学中描述力、质量和加速度之间关系的牛顿第
二定律F＝ma，经济学中描述单价、销售金额和销售量之
间关系的公式C＝pq等，数学模型都是y＝kx.一个数学模 型应用于多个实际问题是屡见不鲜的.要学会观察和分析， 透过现象，抓住问题的本质特征，利用已有模型或在已有 模型上进行修正，以此提高我们的建模水平.
图 1-1
1.6 简单数学建模示例
案例1 【汽车租赁费用模型】
国庆长假期间，小王 租用了鑫鑫汽车租赁公司 一辆桑塔拉汽车外出旅游 ．鑫鑫汽车租赁公司与小 王签订的租车合同中约定: 次日下午6时前交车按一天 计，交车时验车．租车的 收费标准见表.
车型 桑塔 纳
基本租金(元/辆、 里程收费(元/km) 天) 200 5

在中国 1992年由中国工业与应用数学学会组织举办 了我国10城市的大学生数学模型联赛，79所院校 的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、 培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部 高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国 大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项 竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。
事实上，按40人（团体票）购买享受6折优惠
的总门票费为60%×5×40=120元，而这一门票总费
用相当于只购买了 120 24人的门票．因此，
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当24≤x＜40时，按40人购买团体打折门票的费用低
于按实际人数购买门票的费用；当 0 ＜ x ≤ 24时，
按实际人数购买门票的费用低于120元，可以按实际
案例2 【参观购票策略模型】
某展览馆为鼓励团体 消费，门票收费标准为： 每人5元，40人以上（含 40人）的团体票6折优 惠．试建立门票费用模型， 简单分析购票策略，并分 别计算当有32名、40名、 50名学生入馆参观时需要 支付的门票费．
一、模型假设与符号说明 1.假设一个参观团可以购买大于参观团人数的门 票数．
2012 年，来自全国33个省/市/自治 区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美 国的1284所院校、21219个队（其中 本科组17741队、专科组3478队）、 63600多名大学生报名参加本项竞赛。
1.2 为什么学习数学建模
1. 数学建模对于高职教育的意义： 高等职业教育的培养目标是为生产和服 务第一线培养具备综合职业能力和全面素 质的高级实用性人才。而数学建模就是要 求大学生参与到具体的生产生活中去，并 解决实际问题，它所包含的数学训练、数 学思想、数学方法将来都会发挥积极的作 用；从某种意义上来说，数学建模竞赛是 提前让大学生了解今后走向工作岗位所需 要的能力和品质。
解：为了建立旅馆一天收入的数学模型， 可作如下假设：
假设1：每间客房最高定价为160元；
假设2：根据经理提供的数据，设随着房价 的下降，住房率呈线性增长； 假设3：设旅馆每间客房定价相等。
建立模型: 分析：根据题意，设y表示旅馆一天的总收入， x为与160元相比每间客房降低的房价。由假设2可得， 10% 每降低1元房价，入住率增加 0.005 . 因此旅馆一天的总收入为
y 150 (160 x)(0.55 0.005 x)
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2. 合理假设
建立数学模型的主要目的在于解决现实问题.然而现
实问题不经过理想化、简单化处理就很难转变成数学问题， 即使建立了模型，也会因过于复杂而很难求解.因此，做 出合理的假设在数学建模中起着至关重要的作用.所谓合 理的假设，是指这些假设既能抓住问题的本质特征，又能 使问题得到简化，便于进行数学描述，我们称这样的假设 为简化问题的假设.这里要提醒注意的是：对于一个假设， 最重要的是它是否符合实际情况，而不是为了解决问题的
Matlab软件与实验（12课时/2天）
Lingo软件解优化模型（6课时/1天） 统计预测模型（6课时/1天）


插值与拟合模型（6课时/1天）
层次分析法（6课时/1天） 模型评价方法（6课时/1天）


数学建模经典案例分析（18课时/3天）
Excel数据处理（3课时/半天） 数模论文写作（3课时/半天） Word使用与信息收集技巧（4课时/半天） 第四阶段：实战模拟（3天）
小王在国庆前一天到租车公司取了车，同时交付 了1000元押金．大假第5天下午5时,他还车时支 付了2800元租车费（含押金）．问小王驾车行驶 了多少km?
一、模型假设与符号说明
1.假设小王在租车期间没有造成汽车损坏，2800 元租车费为基本租金与驾车里程收费之和． 2.假设租车时间不到一天按一天计． 3.设小王的租车费为y元，汽车行驶了xkm．
二、模型的分析与建立
y 1000 5x
Байду номын сангаас
三、模型求解 将2800代入上式，得 2800=1000+5x 解之，得 x=360 (km) ．
拓展思考
1.请做一个市场调研，了解目前汽车租赁价 格的确定方式，并提出你的建议． 2．如果一辆新桑塔拉的售价为9万元（含购 置税），汽车每年的保险费为3000元．根 据国家规定：私家车的报废年限为15年． 若公司估计该车一年中约有200天被租用． 若不考虑维修费等其它费用，试确定使公 司不亏损的最低租赁价格，并为汽车租赁 公司提供一个该款汽车的租赁方案．
方便.
3.建立模型
在已有假设的基础上，利用合适的数学工具，描述
问题中变量之间的关系，确定其数学结构，就得到了实际 问题的数学模型. 这里有两点要注意：一是构造一个具体问题的模型时， 首先应构成尽可能简单的数学模型，然后把构造的简单模 型与实际问题进行比较，再考虑将次要因素归纳进去，逐 渐逼近现实来修改模型，使之趋于完善.也就是说，数学 建模是一个不断精确化的过程，切忌建模之初就把问题复
三、模型求解
当x=32时，实际需要支付的门票费y=120元；
当x=40时，实际需要支付的门票费y=120元；
当x=50时，实际需要支付的门票费y=150元.
拓展思考 如果门票收费标准为：每人5元，20人以上 （含20人）40人以下（不含40人）的团体票每人 少1元，40人以上（含40人）的团体票以6折优 惠．请建立门票费用函数模型，并给出相应的购 票策略．
4.模型求解 不同的模型要用到不同的数学工具来 求解. 多数场合模型必须依靠计算机的数值 求解、模拟. 熟练利用数学软件包将会为我 们求解模型带来方便.
5.模型的检验与修正 建立数学模型的目的在于解决实际问题，因此必须把 模型所得的结果返回到实际问题，如果模型结果与实际状 况相符合，表明模型经检验是符合实际问题的.如果模型 结果很难与实际相符合，表明这个模型与所研究的实际问 题不符合，不能直接将它应用于实际问题.这时数学模型 的建立过程如果没有问题，就需要考察建模时关于问题所 做的假设是否合理，检查是否忽略了某些重要因素.再对 假设给出修正，重复前面的建模过程，直到使模型能反映 所给的实际问题.数学建模就是这样一个不断循环上升， 不断优化模型的过程. 建立数学模型的过程是一个迭代的过程，可以用下面 的框图(图1-1)表示.
2.设参观团有x人，个人实际所花的门票费为y 元．按x人购买张门票的费用为y1元．
二、模型的分析与建立 若按参观团实际人数购门票，门票费用模型 为
x 40 5 x y1 60 % 5 x x 40
在实际购买门票时，当x接近40人时，通过粗 略分析可知，按实际人数购买门票的费用可能高于 按40人购买团体打折门票的费用．
第一章 数学建模概论
第一章 数学建模概论
1.1 数学建模发展简介