第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程
4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义
设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(ˆt x
或)]([t x H ，并定义为
ττ
τπd t x t x H t x ⎰∞
∞--==)
(1
)]([)(ˆ
用'ττ
+=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为：
''
)
'(1
)(ˆτττπd t x t x ⎰∞
∞-+-=
也可得
''
)
'(1
)(ˆτττπd t x t x ⎰∞
∞--=
希尔伯特反变换为
ττ
τπd t x
t x H t x ⎰∞
∞----==)(ˆ1
)](ˆ[)(1
经变量替换后得
ττ
τπττ
τπd t x
d t x
t x ⎰
⎰
∞
∞
-∞
∞
-+=
--
=)(ˆ1
)(ˆ1
)(
二． 希尔伯特变换的性质
1. 希尔伯特变换相当于一个0
90的理想移相器。

从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t
π1
的卷积，即
t
t x t x
π1
*)()(ˆ=
于是，可以将
)(ˆt x
看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1
)(=的线性滤波器的输出。

由冲激响应可得系统的传输函
数为
)sgn()(ωωj H -=
式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为
010
1)sgn(<-≥=
ωωω
可得滤波器的传输函数为
00
)(<≥-=ωωωj j H
即
1)(=ωH
2
02
)(<≥-
=
ωπ
ωπ
ωϕ
上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。

由上述分析可得，)(ˆt x
的傅立叶变换)(ˆωX 为
)()sgn()sgn()()(ˆωωωωωX j j X X
-=-⋅= 2. )(ˆt x
的希尔伯特变换为)(t x -，即)()](ˆ[t x t x H -=。

3. 若
)(*)()(t x t v t y =，则)(t y 的希尔伯特变换为
)(*)(ˆ)(ˆ*)()(ˆt x t v t x t v t y
==
4.
)(t x 与)(ˆt x
的能量及平均功率相等，即 dt t x
T
dt t x T
dt t x
dt t x T
T
T T
T T ⎰
⎰⎰
⎰-∞→-∞→∞
∞
-∞
∞
-==)(ˆ21
lim )(21lim )(ˆ)(22
22
此性质说明希尔伯特变换只改变信号的相位，不会改变信号的能
量和功率。

5. 设具有有限带宽
ω∆的信号)(t a 的傅氏变换为)(ωA ，假定
20ωω∆>，则有
t t a t t a H t t a t t a H 0000cos )(]sin )([sin )(]cos )([ωωωω-==
设
)(t A 与)(t ϕ为低频信号，则
)](cos[)())](sin()([)](sin[)())](cos()([0000t t t A t t t A H t t t A t t t A H ϕωϕωϕωϕω+-=++=+
4.1.2 解析信号
由实信号)(t x 作为复信号)(t z 的实部，)(t x 的希尔伯特变
换
)(ˆt x
作为复信号)(t z 的虚部，即 )(ˆ)()(t x
j t x t z += 这样构成的复信号
)(t z 称为解析信号。

设
)(t x 频谱为)(ωX ，并已知)(ˆt x
的频谱为
)()sgn()(ˆωωωX j X
-=，则可得复信号)(t z 的频谱为 0
)(2)
()sgn()()(<≥=+=ωωωωωωωX X X Z
4.1.3 复随机变量
若X 和Y 分别是实随机变量，则定义Z 为复随机变量
Z=X+jY
复随机变量的数字特征： 1. 数学期望
Y X Z jm m Z E m +==][ 复数
2. 方差
][][][][2
2Y D X D m Z E Z D Z Z
+=-==σ 实数
3. 互相关矩
若有两个复随机变量Z 1=X 1+jY 1，Z 2=X 2+jY 2，则它们的互相关矩为
)()(][21212121212
*1X Y Y X Y Y X X Z Z R R j R R Z Z E R -++==
4. 互协方差
)]()[(21212*
1Z Z Z Z m Z m Z E C --=
5. 互相独立、互不相关、互相正交
两个复随机变量互相独立需满足
),(),(),,,(2211221122112211y x f y x f y x y x f Y X Y X Y X Y X ⋅=
两个复随机变量互不相关需满足
]
[][][0)]()[(2*12*12*
1212121Z E Z E Z Z E R m Z m Z E C Z Z Z Z Z Z ===--=或
两个复随机变量互相正交需满足
0][2*1
21==Z Z E R Z Z
4.1.4 复随机过程
若X(t)和Y(t)为实随机过程，则Z(t)=X(t)+jY(t)为复随机过程。

复随机过程的数字特征：
1. 数学期望
)()()()]([t m t jm t m t Z E Z Y X =+= 复时间函数
2. 方差
)()]([)]([])()([22
t t Y D t X D t m t Z E Z
Z σ=+=- 实函数
3. 自相关函数
)]()([),(*
ττ+=+t Z t Z E t t R Z
4. 自协方差函数
)]}()([)]()({[),(*
τττ+-+-=+t m t Z t m t Z E t t C Z Z Z
当
0=τ时，有
])([)]()([),(2
*
t Z E t Z t Z E t t R Z == )(])()([),(22
t t m t Z E t t C Z
Z Z σ=-=
由实随机过程广义平稳定义可直接类推出复随机过程广义平稳条件，若复随机过程Z(t)满足以下条件：
∞
<+==])([)]()([)()]([2
*
t Z E t Z t Z E R m t Z E Z Z ττ复常数
则称Z(t)为广义平稳复随机过程。

5. 互相关和互协方差函数
)]}()([)]()({[),()]
()([),(2121212*12*1
τττττ+-+-=++=+t m t Z t m t Z E t t C t Z t Z E t t R Z Z Z Z Z Z
若0),(21=+τt t C Z Z ，则称Z 1
(t)和Z 2
(t)互不相关。

若0),(21=+τt t R Z Z ，则称Z 1
(t)和Z 2
(t)互相正交。

若两个复随机过程各自平稳且联合平稳，则有
)(),()(),(21212121ττττZ Z Z Z Z Z Z Z C t t C R t t R =+=+
6. 功率谱密度
平稳复随机过程的功率谱密度仍定义为自相关函数的傅立叶变换，即
ωωπ
ττ
τωωτωτd e S R d e R S j Z Z j Z Z ⎰
⎰∞
∞
--∞
∞
-=
=)(21
)()()(
两个联合平稳的复随机过程的互功率谱密度与互相关函数也是
一个傅立叶变换对。

4.1.5 解析过程 定义：由实随机过程
)(t X 作为复随机过程)(t Z 的实部，)(t X 的
希尔伯特变换)(ˆ
t X 作为)(t Z 的虚部，即
)(ˆ)()(t X
j t X t Z += 这样构成的复随机过程)(t Z 为解析随机过程。

其中
τττπd t X t X H t X
⎰∞
∞--==)
(1
)]([)(ˆ
解析过程的性质：
1. 若)(t X 为广义平稳过程，则)(ˆ
t X 也是广义平稳过程，且)(t X 、
)(ˆt X
联合平稳。

2. )
()(,)()(ˆˆωωττX X X X S S R R ==
3.
)(ˆ)(,)(ˆ)(ˆˆττττX X X
X X X R R R R -==
可得
)()(ˆˆττX X X X R R -=
4. )()(ˆˆττX X X X R R -=- 奇函数
5. 0)0(ˆ=X X R
6. )(ˆ2)(2)(τττX
X Z R j R R +=
7. 0)
(0)()(ˆ<≥-=
ωωωωωX X X X jS jS S
8.
00
)(4)(<≥=ωωωωX Z S S。