此题可列出微分方程并解出纯理论解， 但这里我们采用数值解法。
模型假设及构建
以坦克初始点为坐标原点，正东方向为x轴正方 向建立直角坐标系。假定在每个0.1秒时间间隔内， 坦克先向北行驶1.5米，然后导弹朝着对准坦克的方 向行驶6米。 Tk ~坦克第k个0.1秒末的纵坐标值 xk~导弹第k个0.1秒末的横坐标值 yk~导弹第k个0.1秒末的纵坐标值 Tk=1.5k; k=1,2, 0≤ xk ≤3000 ; 0≤ yk; k=1,2,
为解决此题，首先必须建立从k时刻到k+1时刻的 导弹轨迹坐标关系式：
（xk+1，yk+1）
由此可得出从k时刻到k+1时刻的导弹轨迹坐标关系式：
yk 1 yk Tk 1 yk xk 1 xk xk
xk 1 xk yk 1 yk
2
2
6
模型求解：
循环计算，直到可以覆盖整个轨道即可。
对于椭圆轨道：最少需要多少个测控站？
进一步讨论： 有必要求解β2吗？ 假如将（θ+β1） 视为任意初始角θ， 从P1开始作为第一 个测控站，往下递 推，如何？ 飞船最少测控站数
建模案例3：
如何预报人口的增长
•已知近200多年来美国人口数据（见上图） •问：如何预测2000年和2010年美国的人口数？
根据以上导弹坐标关系式，可推导出以下递推关系式
xk 1 xk
6 xk
Tk 1 yk
2
xk
2
yk 1 yk 36 xk 1 xk
2
有了这个导弹坐标递推公式，就可借助Excel表格软 件上机逐步计算出导弹运行轨迹。当： xk+1≤ 0且xk ＞0 时，即可近似确认导弹击中了坦克。追迹题解 所得结果为：当k≈533.3(即导弹运行53.3秒）时， 在Tk+1 ≈ 800（即坦克约向北行驶了800米）处，导弹 击中坦克。
此问题可归结为d1~d6共6种切割厚度的排序优化。 采用枚举法，有多少种可能的方案？ P6=6×5×4×3×2×1=720？ 还能减少吗？
图1
由于同方向两次切割有必然的顺序， 先选废料尺寸较长的切割。
所以枚举方案数为： P6/23 = 90 换一种思维，枚举数为：
2 2 C6 C4 90
•解决这一问题，先要探索人口增长的规律，然后要掌握 用线性回归拟合参数的方法。
指数增长模型
离散型的计算公式
k年后人口 今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
马尔萨斯于1798年提出如下连续型的指数增长模型
x(t) ~时刻t人口
r ~ 人口(相对)增长率(常数)
x(t t ) x(t ) r x(t ) t
截断切割
图1
建模案例5：基尼系数的计算
• 基尼系数是由意大利罗马大学教授基尼（Corrado Gini, 1884-1965）根据洛伦茨曲线（Lorenz Curve）提出的 对社会收入不公平等度的一种度量。
G A / A B 2 A 1 2 B
G 1 2 L x dx
0.641
• 借助Maple或其他数学软件可计算得：
G 1 2 x 0.78 x1.04 1 x
0 1

0.641
dx 0.3497
建模案例6：城市街道长度计算（2011年赛题B）
• 已知： 某城市街区的交通网络示意图。 该市街区各节点之间街道编号及坐标数据表。 • 要求：计算全部各条街道的长度。 思考：此题的难度在哪里？
• • •
需要统计分析那些数据？（平均分、标准差、……） 问题是数据比较杂乱，难以给出合理的评价方法。 关键是熟练运用： Excel表格中统计函数的运用； Excel表格的排序功能。 12年A题解
dx x r ( x) x r x (1 ) 可以得出其差分形式 dt xm
x 1 r r xt r s xt t x t xm
于是根据现有的历年人口xt数值,采用“最小二乘法”作 拟合，可以计算得出参数r、s值，进一步得出xm值。 人口预测模型参数拟合
• • • •
其实计算公式并不涉及高深的数学理论。 问题是计算量太大，难以很快得出结果。 关键是熟练运用Excel的查询和引用功能。 某市各条街道长度计算结果
建模案例7：NBA赛程分类统计（2008年赛题D）
• 已知2008~2009赛季NBA常规赛的赛程安排。 • 要求分别统计出每个球队全部82场比赛的赛程表。 思考：此题的难度在哪里？
0
1
L x x c x 1 x


•
基尼系数的求解步骤： 根据统计数据，适当分段； 计算各段相关数据； 拟合L(x)函数的待定参数； 计算基尼系数。
• 例题：根据国家统计局的抽样调查，我国在1999年城 镇人口的分组收入情况数据如下表显示，试拟合对应 的洛伦兹曲线并计算基尼系数。
对三角形OP1A,由正弦定理得, OP OA 1 ， sin sin 2 2 R cos( ) p 即 , cos 1 e cos 1 cos R cos( ) 1 e cos 1 p ,
p OA 1 e cos 1 a, b为长,短半轴
OB a 2 b2 , e a sin 2 sin 2 2 R cos( ) p b2 即 , p cos 2 1 e cos 2 a
Excel在数学建模 解题中的应用
董哲生
建模案例1： 导弹追迹问题
一辆坦克以 15m/s 速度向北行驶，同一时刻在 坦克正东方向3000m处一枚反坦克导弹以60m/s速度 对准它射出。假定坦克和导弹均为匀速运动，坦克 运动方向不变，导弹运动方向始终为对准坦克。问 经过多少秒钟？导弹在何处击中坦克？
建模案例4：最优截断切割问题
• 从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方 体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割。设水平切割单位面积的费用是垂直切割 单位面积费用的r倍，试设计一种安排各面加工次序 （称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。 • 有人提出如下切割方案准则：每次选择一个加工费用最 少的待切割面进行切割。你认为正确吗？ • 以下实例验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的 长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧 面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为 厘米）。垂直切割费用为每平方厘米1元，r的数据分别 考虑三种情况：①r =1;②r =1.5;③r=8。
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律； •不能预测较长期的人口增长过程。
原因何在？
19世纪后多数地区的人口数据显示： 人口增长率r并不是常数，而是逐渐下降的。
阻滞增长模型 (Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数
• • • 其实分类统计方法并不涉及高深的数学理论。 问题是统计量太大，难以很快得出结果。 关键是熟练运用： Word文档字符的表格化； Word文档表格转化为Excel文档； Excel表格的排序功能。 NBA各队赛程表
建模案例8：葡萄酒的品质评价（2012年赛题A）
• 已知两组评酒员对红、白两类，各数十个品种葡萄酒的 评分表。 • 问题：①两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一 组的评价结果更可信？②如何给这些葡萄酒的品质排序？
多少个测控站能进行全程跟踪测控？
• 对于圆轨道
sin( / 2 ) sin( / 2 ) , hR R cos( ) cos( ) hR R R cos( ) arccos hR 2 所需要站点数目 1 2 所需要站点数随高度减少
由此可以确定下一个观测站的位置 : 1 1
计算步骤 : 给定近地点、远地点，求a, b, e, p 给定一个初始角度 ,由方程 R cos( ) p cos 1 1 e cos 1 R cos( ) p 和 分别求出1和 2， cos 2 1 e cos 2 再由 cos R cos( ) 1 e cos 1 p 求出，
飞船最少测控站数
对于椭圆轨道：最少需要多少个测控站？
对于椭圆轨道, 其极坐标方程为： OA p 1 e cos 1
a, b为长,短半轴 a 2 b2 e a b2 p a
对三角形OPA,由正弦定理得, OA ， sin 1 sin 2 2 R cos( ) p 即 , cos 1 1 e cos 1 对三角形OPB,由正弦定理得, OP OP
对洛伦兹函数 L x x c x 1 x
两边取对数，得 ln x L ln c ln x ln 1 x
接下来就可运用Excel拟合参数了。基尼系数计算
• 根据Excel拟合结果 • 洛伦兹函数为：
L x x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0.78 x1.04 1 x
x(t ) x 0 e
r t
rt
dx r x, x(0) x0 dt
x0 (e ) x0 (1 r )
t
结果表明：随着时间增加人口总数将无限增长！？
指数增长模型的应用及局限性
•与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合； •也适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代； •可用于短期人口增长预测。