1、地球对卫星的引力：
r R
G r Mm k m
r R2
R2
：万有引力常数； k
rM：地球引力常数M
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k ?： 若质量为m的质点位于地球表面则有
mg k m R2
k g R2
这样
g:
重力加速度
F mg 牛顿第二定律
Gkm r2
万有引力定律
G
g R2
m r2
m g( R )2 r
发动机的功力 火箭的结构外型涉及到强度与阻力 火箭的控制系统
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我们现在讨论的是：
运载火箭将卫星送入轨道,并在轨道上运行. 卫星的速度是通过火箭推进器加速火箭的飞
行而获得的，而由牛顿第二定律
F ma F: 推力
a: 火箭推进器加速度
可推出加速度：a F m
F a m a
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四 火箭的推力
V
(t)
V0
uln
m0 uln m(t)
m0 m(t)
V0 V (t)|t00
m 其中 ：火箭初始时刻的质量。 0
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五 火箭系统的质量
m m m m
0
p
F
s
初始时刻
有效载量 燃 料
火箭结构的质量
由（四）中的结果可知：火箭的末速度：V uln m0 mp ms
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八 n级火箭的质量分配
V : 火箭末速度
三级火箭运载模型
一、问题的提出 二、问题分析与模型假设 三、建立模型与求解（含六部分）
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一、问题的提出
1、用火箭发射卫星时，通常采用三级火箭 2、为什么采用三级运载火箭？ 3、请您建立数学模型解决这个问题
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二、问题分析与模型假设
1、问题分析
运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它 飞行的因素：
dt
dt (v(t) u)
dv(t) dm(t)
m(t)
u
dt
dt
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四 火箭的推力
气体喷射速度
燃料消耗速度
F m(t)a(t)m(t)dv(t)udm(t)
dt
dt
火箭的推力
反冲力
dv(t) u d[lnm(t)]
dt
dt
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V
(t)
V0
ulndm(t) m0
m(t t)v(t t) [m(t) m(t t)][v(t) u]
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四 火箭的推力
其中: u 为气体喷射相对于火箭的速度；
由动量守恒定律有：
m(t)v(t) m(t t)v(t t) [m(t) m(t t)][v(t) u]
所以 d[m(t)v(t)] dm(t)
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2、假设条件：
（1）我们考虑卫星的运行速度、火箭的 推力和火箭与卫星的质量
（2）假设火箭的结构、外形与控制等问 题能满足保证火箭正常运行的需要
（3）只考虑地球对卫星的吸引力
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三、卫星的速度
目标：确定卫星在轨道上运行所必需的速度
假设：卫星质量是：m
卫星
地球质量是：M
相对速度
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动量守恒定律： （1）＝ （2）
所以
d m(t )v(t)
dt
dm(t) dt
(1
)
dmd(tt)v(t)-u
dv(t)
dm(t)
m(t) • dt (1 )u dt
v(t) t0 0
v(t) (1 )uln m0
m(t) 燃烧完时的速度
mmsF
—烧光 —抛光
No.2级燃尽时火箭的速度为：
V2
V1
uln
mp m2 mn mp m2 m3 mn
依次类推：No.n级燃尽时火箭的速度为：
V…. n Vn1
此时火箭. 的速度：
uln
mp mn mp mn
V
Vn
uln
mp
m0
m1m2
mn
mp m2 mn
mp m2 m3mn
mp mn
mp mn
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地球对卫星的引力
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2：卫星的运行速度 ❖ 设卫星绕地球匀速运动，其线速度为v，此时没有切向
加速度，而法向加速度为 v2 / r此时有
m( v2 ) mg ( R )2
r
r
所以 v R
g 这就是卫星绕地球运行 r
不致于掉下去的速度
卫星是用火箭送入轨道的，因此火箭的末速度也 应为v。
理想
现实：分级火箭
设火箭为n级，
m：第i级火箭结构 燃料质量(i 1,2,...,n) i
：火箭的结构比
m : 第i级结构质量;(1 )m : 第i级燃料质量
i
i
No.1级烧完时火箭的质量为：m p m1 m2 mn
此时火箭的速度：
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V1
uln
mp
m0 m1 max
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u Vmax 当前 u 3km/s
Vmax 当前
0.1＝10％
V vmax 3ln10
7km / s 7.9km / s
所以当前的技术条件下一级火箭是无法达到第一宇宙速度； 必须采用多级技术！！
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六、理想化的可随时抛去结构质量的火箭
引入重要指标:
火箭的结构比:
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ms mF ms
1
mF mF ms
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五 火箭系统的质量
ms (mF ms)(m0 mp)
V uln m0 uln
m0
uln
m0
mp ms
mp (m0 mp)
m0 (1)mp
当mp=0，（即没有装载东西）时，
Vmax
uln
1
u与都是技术条件决定的， u Vmax
v (1 )uln m0
或 m0
v
e (1)u
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mp
mp
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若要考虑到空气阻力和重力的影响，要将卫星送上 轨道，火箭的末速度V应达到 V=10.5km/s：
因为 umax 3km/ s min 0.1
所以
m0 mp
50当
mp
1 m0
50
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七 多级火箭的速度公式
假设火箭在燃料消耗一部分，用以装载火箭这部分燃料的 火箭结构可以同时抛掉。
在t时刻，火箭系统的动量为：m(t)v(t) …..（1）抛去的结构质量
在 t t ,火箭系统的动量为：
mt t vt t m(t) mt t vt 1 m(t) mt t u(t) u) （2）
喷射燃烧的燃料
若 r R 6371(km，)则
v Rg 7.9km / s 第一宇宙速度
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四 火箭的推力
假设条件： (1)将火箭简化为燃料仓+发动机 (2)不考虑空气阻力等
设 m(t) ：t时刻火箭的质量 v(t ) ：t时刻火箭的速度
这样，在t时刻火箭的动量为：m(t)v(t) 在t t 时间火箭的动量为: