分数裂项计算
本讲知识点属于计算大板块容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=
⨯⨯⨯⨯⨯。
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯
【例 2】1111 11212312100 ++++
++++++
【例 3】
1111 133******** ++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111
25
1335572325
⎛⎫
⨯++++=
⎪
⨯⨯⨯⨯
⎝⎭
【巩固】251251251251251 4881212162000200420042008 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
3245671 255771111161622222929 ++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 4】计算：
11111111
()128 8244880120168224288
+++++++⨯=
【巩固】11111111 612203042567290
+++++++=_______
【巩固】
111111
1
3610152128 ++++++=
【巩固】计算：111111111 2612203042567290
--------＝
【巩固】
11111 104088154238
++++=。
【例 5】计算：
1111 135357579200120032005 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 6】
7
4.50.16
1111
18
13153563 13 3.75 3.2
3
⨯+
⎛⎫
⨯+++=
⎪
⎝⎭-⨯
【例 7】计算：
11111 123420 261220420 +++++
【巩固】计算：
11111 20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算：11224
26153577
++++=____。
【巩固】计算：1111111 315356399143195 ++++++
【巩固】计算：1511192997019899 2612203097029900
+++++++=．
【例 8】
111 123234789 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
111 1232349899100 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：
1111 135246357202224 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
4444
...... 135357939597959799 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
9998971 12323434599100101 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 9】
11111 123423453456678978910 +++⋅⋅⋅++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 10】计算：
5719
1232348910
+++=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
．
【巩固】计算：
571719 1155
234345891091011⨯++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（）
【巩固】计算：
34512 12452356346710111314 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 11】12349 223234234523410 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 12】
123456 121231234123451234561234567 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】计算：2399
3!4!100!
+++=.
【例 13】
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++
⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++
【巩固】
234100
1(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100) ++++
⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++
【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)----⨯++⨯++++++⨯++++（）
【例 14】 222222111111
31517191111131+++++=------ .
【巩固】 计算：2222221
11
111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=
【巩固】 计算：2222222235715
12233478++++⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：22222222223151711993119951
3151711993119951++++++++++=----- ．
【巩固】 计算：22222222
222213243598100213141991++++++++=---- ．
【巩固】 计算：22
2
2
1235013355799101++++=⨯⨯⨯⨯ ．
【例 15】 56677889910
56677889910+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 365791113
57612203042++++++
【巩固】计算：132579101119 3457820212435 ++++++++=
【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++
【巩固】111112010263827 2330314151119120123124 +++++++++
【巩固】
354963779110531
1 6122030425688⎡⎤
⎛⎫
-+-+--÷ ⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
【巩固】计算：
5791113151719 1
612203042567290 -+-+-+-+
【巩固】11798175 451220153012 ++++++
【例 16】
22222222 122318191920 122318191920 ++++ ++⋯⋯++
⨯⨯⨯⨯
【巩固】
11112007111 (......)(......) 120072200620062200712008120062200520061 ++++-+++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 17】计算：
111111 23459899515299 +++++++=⨯⨯⨯
【例 18】计算：24612 335357357911 ++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【例 19】计算：
283411 1222222 1335571719135357171921
⎛⎫++++-+++=
⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⎝⎭。