1, t > 0 u (t ) = 0, t < 0
或
（1-11）
1, = u ( t ) 0, 1 2,
t >0 t<0 t =0
（1-12）
图 1-5 斜升函数 ☻ 符号函数：
图 1-6 单位阶跃函数
4
《信号与系统》讲义
第一章：绪论
1, t > 0 sgn ( t ) = −1, t < 0 或 1, t > 0 sgn ( t ) = −1, t < 0 0, t = 0 ☻ 门函数： G ( t ) = u ( t ) − u ( t − t0 ) , t0 > 0
☻ 采样函数：
= f ( t ) Sa = (t ) sin t t
（1-5）
注意与抽样信号 定义上的差别！
- 0.2122
图 1-3 采样信号 采样函数的性质（三点、三式） ： ♦ 采样函数 Sa ( t ) 为偶函数，在 t 的正、负两方向振幅都逐渐衰减，当
±π , ±2π , , ± nπ 时，信号值为零。 t=
φ ( x)
《信号与系统》讲义
第一章：绪论
=
δ ( x − x0 ) /， f ′ ( x0 )
f ′ ( t0 ) δ ( t − t0 )
−1
φ ( x)
#证毕
即： = δ ( f (t ))
复合冲激函数的直观理解： ① δ ( f ( t ) ) = ∞ 的冲激位置在 f ( t ) =0，即在t 0 点；其余点为 0。 ② δ ( f ( t ) ) 的冲激强度不是 1，而是与 f ( t ) 的陡峭程度成反比。 上述第②条可以通过广义极限逼近的冲激函数来理解：若 f ( t ) 在 t 0 邻域内缓变 （斜率小） ，则 f ( t ) 的取值靠近 0，δ ( f ( t ) ) 的值就大；若 f ( t ) 在t 0 邻域内快变（斜率 大） ，则 f ( t ) 的取值就远离 0， δ ( f ( t ) ) 的值就小；是反比关系。 ☻ 若光滑函数 f ( t ) 满足： f ( t ) |t =t1 , t2 , = 0 ，且 f ′ ( ti ) ≠ 0，∀i = 1, 2,... ，则：
(t < 0) 0， f ( t ) = −α t Ke sin (ωt )， ( t ≥ 0 )
（1-3）
其中，α >0。 ☻ 复指数信号： f (t ) = Ke st （1-4）
= σ + jω , t ∈ ( −∞, +∞ ) 其中： s
st = Keσ t cos (ωt ) + jKeσ t sin (ωt ) 可见： f = ( t ) Ke
（1-13）
（1-14）
（1-15）
图 1-7 符号函数
图 1-8 门函数
§1.3 冲激函数与广义函数（ 《信号与系统》第二版（郑君里）1.4，2.9） 冲激函数的三种常规定义： 1）冲激函数的直观定义，狄拉克（Dirac）定义： +∞ δ ( t ) dt = 1 ∫−∞ ( t ) 0, t ≠ 0 δ= （1-16）
图 1-9 冲激函数 这不是高等数学所讲的常规意义下的积分，不是黎曼（Riemann）积分，也不是 勒贝格（Lebesgue）积分。而是一种自洽定义的特殊积分。 2）冲激函数的广义极限定义：冲激函数是面积（强度）为 1，等效宽度趋 于 0 的函数的极限。这样的函数可以有多种，以下列出八种： a) 矩形函数逼近 1 τ τ δ ( t ) lim u t + − u t − τ →0 τ 2 2 （1-17）
∫
t
−∞
dτ
（1-31）
1 u (t ) = δ (t ) p ☻ 阶跃微分性质：
（1-32）
δ (t ) =
定义（微分算子） ：
p
du ( t ) dt
d dt
（1-33）
（1-34）
为微分算子，则有：
δ (t ) = p u (t )
☻ 筛性性质（原点） ：
（1-35）
δ ( t ) ，φ ( t ) =
（1-23）
δ ( t ) lim
n n →∞ π 1 + n 2 t 2 ( )
（1-24）
3）冲激函数的检验函数（test function）定义： ♦ ♦ 检验函数的描述性定义：区间 Ω(a, b)上的光滑函数 φ ( t ) 称为检验函 数， −∞ < a < b < ∞ 。检验函数的全体记为 D ( Ω ) 。 用检验函数定义冲激函数：对于 ∀φ ( t ) ∈ D ( Ω ) ，若有
Ω
−1
（1-38）
证明： ∀φ ( t ) ∈ D ( Ω ) ，考虑 δ ( f ( x ) )，φ ( x ) = ∫ δ ( f ( x ) ) φ ( x ) dx 令： = y f ( x )，则 = y ， f= dy f ′ ( x ) dx ( x0 ) 0= 令： Ω取包含，的区间 x0 ∈ ( a b ) 则：原式= ∫
（1-20）
图 1-13 采样函数逼近
6
《信号与系统》讲义
第一章：绪论
e) 复指数函数积分逼近（与采样函数逼近相同）
δ ( t ) lim
= lim f)
1 k →∞ 2π
∫
k
−k
e jξ t dξ
1 = 2π
∫
∞
−∞
e jξ t dξ
1 1 jkt − jkt sin kt e ) lim ，即采样逼近 ( e −= k →∞ 2π jt k →∞ π t
n
个高阶无穷小量，当 t → ∞。 定义：比任何多项式的倒数衰减都快的函数称为速降函数。 高斯函数是速降函数，是正实函数。 高斯函数的傅里叶变换仍为高斯的。
奇异函数： ☻ 光滑函数：定义域 Ω 上任意阶导数都存在的函数的集合，记为 C ∞ ( Ω ) 。 ☻ 奇异函数：非光滑函数统称为奇异函数。 ☻ 单位斜变函数： t, t ≥ 0 R (t ) = 0, t < 0 ☻ 单位阶跃函数： （1-10）
图 1-2 抽样信号举例 典型确定性信号： ☻ 指数信号： f (t= ) K ⋅ eα t 其中，K、α为实数。 ☻ 正弦信号： （1-1）
= f ( t ) A sin (ωt + θ )
2
（1-2）
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第一章：绪论
其中，A 为幅度，ω 为角频率，θ 为初相位。 ☻ 单边衰减正弦信号：
5
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第一章：绪论
图 1-10 矩形逼近 b) 金字塔函数逼近
δ ( t ) lim (1 − | t | τ ) u ( t + τ ) − u ( t − τ ) τ →0 τ
1

（1-18）
−τ
o
τ
t
图 1-11 金字塔逼近 c) 负指数函数逼近
☻ 尺度变换性质：
（1-27）
δ (α t ) =
☻ 偶函数性质：
1
α
δ (t )
（1-28）
δ ( −t ) = δ (t )
☻ 积分阶跃性质：
（1-29）
u ( t ) = ∫ δ ( t ) dt
−∞
t
（1-30）
定义（积分算子） ：
7
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第一章：绪论
1 p 为积分算子，则有
♦
∫
♦
∞
0
Sa ( t ) dt =
π
2
（1-6）
∫
♦
∞
−∞
Sa ( t ) dt = π Sa ( t ) dt = ∞
（1-7）
∫
☻ 高斯函数：
∞
−∞
（1-8）
f (t ) = E ⋅e
3
t − τ
2
（1-9）
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第一章：绪论
图 1-4 高斯函数 高斯函数的性质： ♦ ♦ ♦ ♦ 高斯函数比任何一个多项式的倒数衰减都快，即 f ( t ) ∑ i =0 α i t i 是一
1 − |τt| δ ( t ) lim e , τ > 0 τ →0 2τ
（1-19）
图 1-12 负指数逼近 d) 采样函数逼近
δ ( t ) lim Sa ( kt ) = lim k →∞ π k →∞ π
k

k sin ( kt ) kt

f (a) f (b)
δ ( y )φ ( x )
1 dy f ′( x) 1
φ ( x) ∫ ( ) δ ( y ) Ψ ( y )dy ， 其中：Ψ ( y ) = f ′( x)
f b
f (a)
φ ( x0 ) = Ψ ( 0) = = f ′ ( x0 )
8
δ ( x − x0 )，
f ′ ( x0 )
δ ( t ) φ ( t ) dt φ ( 0 ) ∫=
Ω
（1-36）
其中 φ ( t ) 有界，且在 t = 0 处连续。 ☻ 筛选性质（任意点） ：
δ ( t − t 0 ) ，φ ( t ) = φ ( t0 ) ∫ δ ( t − t0 ) φ ( t ) dt =
Ω
（1-37）
☻ 复合冲激函数： ， 若 f ( t ) 是t的单调函数（在t 0 的邻域内单调） = f ( t0 ) 0，f ′ ( t0 ) ≠ 0 ，则 = δ ( f (t )) f ′ ( t0 ) δ ( t − t0 )