D E ( x 2 ) [ E ( x)]2
( ) k k ( ) k 1 (k 1) 1( ) k 1 E(x ) k e e e k ! ( k 1 )! (k 1)! k 0 k 1 k 1 2 2 (k 1)( ) k 1 ( ) k 1 ( ) k 2 ( ) k 1 2 e e e e (k 1)! k 1 k 1 ( k 1)! k 1 ( k 2)! k 1 ( k 1)!
交通流理论的发展历程
1959年12月，交通工程学应用数学方面学者100多人在底特律 举行首届交通流理论国际研讨会，并确定每三年召开一次。从 此，交通流理论的研究进入了一个迅速发展的时期。 1975年丹尼尔(Daniel I.G)和马休(marthow，J.H)汇集了各方面 的研究成果，出版了《交通流理论》一书，较全面、系统地阐 述了交通流理论的内容及其发展。 1990年美国Adolf D．May出版了《Traffic Flow Fundamentals》 1996年，美国联邦公路局（The Federal Highway Administration，FHWA）出版了《Monograph on Traffic Flow Theory》。主编Nathan H．Gartner，Carroll Messer， Ajay K．Rathi等。涉及的内容包括：交通流特性、人的因素、 车辆跟驰模型、连续流模型、宏观交通流模型、交通影响模型、 无信号交叉口理论、信号交叉口交通流理论、交通模拟和交通 分配。
复习波松分布
波松定理
k k Pk P ( xn k ) Cn pn (1 pn ) n k ,
k 1,2, , n
设npn 0，为常数，则有 ( ) k lim P ( xn k ) e , k 1,2, , n n k! n! k nk Pk ( ) (1 ) k!( n k )! n n n( n 1)(n 2) ( n k 1) k n k ( ) (1 ) (1 ) k! n n n k 1 2 k 1 n k 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) k! n n n n n lim P ( xn k )
i 0 11
的车流以s 900辆/h的流量通过交叉口，在 有效绿灯时间外到达的 车辆要停车排队。
灯时间内都不能通过交 叉口，就要发生二次排 队。泊松分布中，上游车辆一个信号
到达车辆不致发生两次 排队的周期所占百分率 为71%。
2．二项分布 (1) 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。 (2) 基本公式：
交通流理论的发展历程
20世纪30年代才开始发展，最早采用的是概率论方法。1933 年，金蔡(Kinzer.J.P)论述了泊松分布应用于交通分析的可能 性；1936年，亚当斯(Adams.W.F)发表了数值例题；格林希 尔茨（Greenshields）发表了用概率论和数理统计的方法建立 的数学模型，用以描述交通流量和速度的关系。 40年代，由于二战的影响，交通流理论的发展不多。 50年代，随着汽车工业和交通运输业的迅速发展，交通量、 交通事故和交通阻塞的骤增， 交通流中车辆的独立性越来越 小，采用的概率论方法越来越难以适应，迫使理论研究者寻 求新的模型，于是相继出现了跟驰（Car Following）理论、 交通波（Traffic Wave Theory）理论（流体动力学模拟）和 车辆排队理论（Queuing Theory）。这一时期的代表人物有 Wardrop、Reuschel、Pipes、Lighthill、Whitham、Newel、 Webster、Edie、Foote、Herman、Chandler等。
本章交通流理论的内容
交通流的概率统计分布；
排队论；
跟驰理论；
流体力学模拟理论；
第一节 交通流的概率统计分布
一、交通流统计分布的含义与作用
在建设或改善交通设施，确定新的交通管理方案 时，均需要预测交通流的某些具体特性，并且常 希望能用现有的或假设的有限数据作出预报。如 在信号灯配时设计时，需要预测一个信号周期到 达的车辆数；在设计行人交通管制系统时，要求 预测大于行人穿越时间的车头时距频率。交通流 特性的统计分布知识为解决这些问题提供了有效 的手段。
0
0!
e e , 则

k
e , P2

2
k (k 1)

e

k 1
P 1 , , 有P k 1

k 1
Pk
2、均值和方差
( ) k ( ) k 1 M E ( x) kPk k e e e e k! k 0 k 0 k 1 ( k 1)!
第八章 交通流理论
第一节 概述
什么是交通流？认识交通流！ 交通工程中把在道路上通行的人流和车流统称为交通流 （Traffic Flow），一般指车流。
什么交通流理论？
各种交通现象 交通规律 形成机理
数学 物理学 力学
规划 设计 营运 管理
交通流理论
作为交通工程学理论基础的交通流理论是运用物理学和数学的 方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交 通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并 使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。
车辆的到达在某种程度上具有随机性，描述这种随机 性的统计规律有两种方法。一种是以概率论中的离散 型分布为工具，考察在一段固定长度的时间(空间)内 到达某场所的交通数量的波动性；另一种是以概率论 中的连续型分布为工具，研究上述事件发生的时间间 隔的统计特性，如车头时距的概率分布。描பைடு நூலகம்车速和 可穿越空档这类交通特性时，也用到连续分布理论。
i 0 3
则4辆及4辆以上的概率为 P( 4) 1 P( 4) 0.8488
例2、 某信号灯交叉口的周期 C 97s，有效绿灯时间 g 44s，在有效绿灯时间内排 队 设信号灯交叉口上游车 辆的到达率q 369辆/h，且服从波松分布，求 使到达车辆不 致两次排队的周期能占 的最大百分率。 解： 由于车流只能在有效绿 灯时间内通过，所以一 个周期内能通过的最大 车辆数为 A gs 44 900/ 3600 11辆，随后的第 12辆车则不能通过交叉口 ，或者说如果周期 内到达的车辆数 N大于11 ，车辆的排队长度大于 11 ，则后面的N 11辆车在该有效绿 9.9 k 9.9 周期内能够到达的车辆 数为m t qC 97 369/ 3600 9.9辆，则由Pk e 得 k! P0 e 9.9 9.90 / 0! 0.00005 ,由递推公式Pk 1 Pk m /(k 1)得 P ， P2 P ， P3 P2 9.9 / 3 0.00811 ， 1 9.9 P 0 0.000497 1 9.9 / 2 0.00246 P4 P3 9.9 / 4 0.02008 ， P5 P4 9.9 / 5 0.03976 ， P6 P5 9.9 / 6 0.06561 ， P7 P6 9.9 / 7 0.09279 ， P8 P7 9.9 / 8 0.11483 ， P9 P8 9.9 / 9 0.12631 ， P ，P 10 P 9 9.9 / 10 0.12505 11 P 10 9.9 / 11 0.11254 不足12辆车的概率为 P ( 11) Pi 0.708
在交通工程学中，离散型分布有时亦称计数分布；连 续型分布根据使用场合的不同而有不同的名称，如间 隔分布、车头时距分布、速度分布和可穿越空档分布 等等。
二、离散型分布
在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上 分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数 的统计规律用的是离散型分布。 1． 泊松分布 (1) 适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本 上不存在，即车流是随机的。 (2) 基本公式： ( t ) k t Pk e k! 式中： Pk ——在计数间隔 t 内到达 k 辆车的概率； ——平均到达率(辆／s)； t ——每个计数间隔持续的时间(s)； 若令 t m ，则 m 为在计数间隔 t 内平均到达的车辆 数， m 又称为泊松分布的参数。
n
k
k!
e
1
e
1
波松分布定义：若 Pk P ( x k ) 性质： 1、递推公式
k
k!
e ,
0，则称 : x ~ ( )
( ) k 若x ~ ( )，则由P ( x k ) e , k! P 1
k 1,2, , n 得P0
2 D 2 [ E ( x)]2 2 2
对于交通流中波松分布 的性质： ( t ) k t Pk P ( xn k ) e , k! 1、递推公式
0
( t ) k t ( m ) k m m! m 由P ( xn k ) e e , k 1,2, , n 得P0 e e m , 则 k! k! 0! m m m2 m m m P e , P e P , , 有 P Pk 1 2 1 k 1 k k (k 1) k 1 k 1 2、均值和方差 M m, Dm 当m为已知时，还可计算下 列概率值： ( m) i m 到达数小于k辆车的概率：P ( xn k ) e i! i 0 ( m) i m 到达数小于或等于 k辆车的概率：P ( xn k ) e i! i 0
例1、4km长道路上随机分布 60辆车, 求任意400m 路段上有4辆及4辆车以上的概率。 解： 可以将400m理解为计算车辆数的空间间 隔， 则车辆在空间上的分布服从 泊松分布 t 400m ， 60/ 4000辆/ m，m t 6辆，此分布服从 m 6的泊松分布 m k m 6 k 6 则由Pk e 得 Pk e k! k! 60 6 则P0 e 0.0025 0! m 由递推公式Pk 1 Pk 得 k 1 6 P P0 0.0149 1 1 6 P2 P 1 0.0446 2 6 P3 P2 0.0892 3 不足4辆车的概率为P( 4) Pi 0.1512