二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y =-1x 2向左平移2 个单位得抛物线，接着再向下平移3 个2单位，得抛物线.2.函数y =-2x 2+x 图象的对称轴是，最大值是.3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y，那么y 与x 之间的函数关系是.4.二次函数y =-2x 2+ 8x - 6 ，通过配方化为y =a(x -h)2+k 的形为.5.二次函数y =ax 2+c （c 不为零），当 x 取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是.6.抛物线y =ax 2+bx +c 当b=0 时，对称轴是，当a，b 同号时，对称轴在y 轴侧，当a，b 异号时，对称轴在y 轴侧.7.抛物线y =-2(x +1)2- 3 开口，对称轴是，顶点坐标是.如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是.8.若a<0，则函数y = 2x 2+ax - 5 图象的顶点在第象限；当x>-a时，函4数值随x 的增大而.9.二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0）当a>0 时，图象的开口a<0 时，图象的开口，顶点坐标是.10.抛物线y =-1(x -h)2，开口，顶点坐标是，对称轴是. 211.二次函数y =-3(x )2+ ( ) 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知y =1(x +1)2- 2 ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 313.已知直线y = 2x -1与抛物线y = 5x 2+k 交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为.14.用配方法将二次函数y =x 2+2x 化成y =a(x -h)2+k 的形式是. 315.如果二次函数y =x 2- 6x +m 的最小值是1，那么m 的值是.二、选择题：16.在抛物线y = 2x 2- 3x +1上的点是（）2A.（0，-1）B.⎛1,0⎫C.（-1，5）D.（3，4）⎪⎝⎭17.直线y =5x - 2 与抛物线y =x 2-1x 的交点个数是（）2 2A.0 个B.1 个C.2 个D.互相重合的两个18.关于抛物线y =ax 2+bx +c （a≠0），下面几点结论中，正确的有（）① 当 a>0 时，对称轴左边 y 随x 的增大而减小，对称轴右边 y 随x 的增大而增大，当a<0 时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程ax 2+bx +c = 0 （a≠0）的根，就是抛物线y =ax 2+bx +c 与 x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.①19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数y =ax +b 的图象如图代 13-3-12 中A 所示，那么二次函y =ax 2+bx -3 的大致图象是（）图代 13-2-1221.若抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是x =-2, 则a=（）b1 1A.2B.C.4D.2 422.若函数y=a的图象经过点（1，-2），那么抛物线y =ax 2+ (a -1)x +a + 3 的性x质说得全对的是（）A.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与正半 y 轴相交B.开口向下，对称轴在 y 轴左侧，图象与正半 y 轴相交C.开口向上，对称轴在 y 轴左侧，图象与负半 y 轴相交D.开口向下，对称轴在 y 轴右侧，图象与负半 y 轴相交23.二次函数y =x 2+bx +c 中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（）A.(-1，-1)B.(1，1)C.(1，-1)D.（-1，1）24.函数y =ax 2与y =a（a<0）在同一直角坐标系中的大致图象是（）x图代 13-3-1325.如图代 13-3-14，抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于 A 点，与 x 轴正半轴交于 B，C 两点，且BC=3，S△ABC=6，则b 的值是（）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代 13-3-1426.二次函数y =ax 2（a<0），若要使函数值永远小于零，则自变量 x 的取值范围是（）A．X 取任何实数 B.x<0 C.x>0 D.x<0 或x>027.抛物线y = 2(x - 3)2+ 4 向左平移 1 个单位，向下平移两个单位后的解析式为（）A. y = 2(x - 4)2+ 6B. y = 2(x - 4)2+ 2C. y = 2(x - 2)2+ 2D. y = 3(x - 3)2+ 228.二次函数y =x 2+ykx + 9k 2（k>0）图象的顶点在（）A.y 轴的负半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴的负半轴上D.x 轴的正半轴上29.四个函数：y=-x,y=x+1,y=-1（x>0），y =-x 2（x>0），其中图象经过原x点的函数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个30.不论x 为值何，函数y =ax 2+bx +c （a≠0）的值永远小于0 的条件是（）A.a>0，Δ>0B.a>0,Δ<0C．a<0,Δ>0 D.a<0,Δ<0三、解答题31.已知二次函数y =x 2+ 2ax - 2b +1和y =-x 2+ (a - 3)x +b 2-1的图象都经过 x 轴上两上不同的点 M，N，求 a，b 的值.32.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过点 A（2，4），顶点的横坐标为1，它2的图象与 x 轴交于两点 B（x1，0），C（x2，0），与 y 轴交于点 D，且x 2+x 2= 13 ，1 2试问：y 轴上是否存在点 P，使得△POB与△DOC相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过 P，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代 13-3-15，抛物线与直线 y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上 A，B 两点，该抛物线的对称轴 x=-21 与x 轴相交于点 C，且∠ABC=90°，求：（1）直线 AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15 图代13-3-1634.中图代 13-3-16，抛物线y =ax 2- 3x +c 交x 轴正方向于 A，B 两点，交 y 轴正方向于 C 点，过 A，B，C 三点做⊙D，若⊙D 与 y 轴相切.（1）求 a，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tgα；（3）设抛物线顶点为 P，判断直线 PA 与⊙O的位置关系并证明.35.如图代 13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为 x 轴，横断面的对称轴为 y 轴，桥拱的 DGD＇部分为一段抛物线，顶点 C 的高度为 8 米，AD 和A＇D＇是两侧高为 5.5 米的支柱，OA 和OA＇为两个方向的汽车通行区，宽都为 15 米，线段 CD 和C＇D＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱 DGD＇所在抛物线的解析式及 CC＇的长；（2）BE 和B＇E＇为支撑斜坡的立柱，其高都为 4 米，相应的 AB 和A＇B＇为两个方向的行人及非机动车通行区，试求 AB 和A＇B＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于 0.4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为 7 米，它能否从 OA（或OA＇）区域安全通过？请说明理由.图代 13-3-1736.已知：抛物线y =x 2- (m + 4)x +m + 2 与x 轴交于两点A(a,0), B(b,0) （a<b）.O为坐标原点，分别以 OA，OB 为直径作⊙O1和⊙O2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线y =-x 2+ 2(m -1)x +m +1与x 轴都交于 A，B 两点，且 A 点在x 轴的正半轴上，B 点在 x 同的负半轴上，OA 的长是 a，OB 的长是 b.（1）求m 的取值范围；（2）若a∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设（2）中的抛物线与y 轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8 倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知：如图代 13-3-18，EB 是⊙O的直径，且 EB=6，在BE 的延长线上取点 P，使EP=EB.A是 EP 上一点，过 A 作⊙O 的切线 AD，切点为 D，过 D 作DF⊥AB 于 F，过 B 作 AD 的垂线 BH，交 AD 的延长线于 H，连结 ED 和 FH.（1）若AE=2，求AD 的长. 图代 13-3-18AD ED（2）当点 A 在EP 上移动（点A 不与点 E 重合）时，①是否总有AH =？试证FH明你的结论；②设 ED=x，BH=y，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.39.已知二次函数y =x 2- (m2- 4m +5)x - 2(m2- 4m +9) 的图象与 x 轴的交点为2 2A，B（点A 在点B 右边），与 y 轴的交点为 C.（1）若△ABC为Rt△，求m 的值；（2）在△ABC中，若 AC=BC，求∠ACB的正弦值；（3）设△ABC的面积为 S，求当 m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代 13-3-19，在直角坐标系中，以 AB 为直径的⊙C交x 轴于A，交y 轴于B，满足OA∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D，设⊙D的半径为 2.图代 13-3-19（1）求⊙C的圆心坐标.（2）过C 作⊙D的切线 EF 交x 轴于E，交y 轴于F，求直线 EF 的解析式.（3）抛物线y =ax 2+bx +c （a≠0）的对称轴过 C 点，顶点在⊙C上，与 y 轴交点为 B，求抛物线的解析式.41.已知直线y =1x 和y =-x +m ，二次函数y =x 2+px +q 图象的顶点为 M. 2（1）若M 恰在直线y = 1x 与y =-x +m 的交点处，试证明：无论 m 取何实数值，2二次函数y =x 2+px +q 的图象与直线y =-x +m 总有两个不同的交点.（2）在（1）的条件下，若直线y =-x +m 过点 D（0，-3），求二次函数y =x 2+px +q 的表达式，并作出其大致图象.图代 13-3-20（3）在（2）的条件下，若二次函数y =x 2+px +q 的图象与 y 轴交于点 C，与x 同的左交点为 A，试在直线y = 1x 上求异于 M 点P，使P 在△CMA的外接圆上. 242.如图代 13-3-20，已知抛物线y =-x 2+ax +b 与x 轴从左至右交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，且∠BAC=α，∠ABC=β，tgα-tgβ=2,∠ACB=90°.（1）求点 C 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若抛物线的顶点为 P，求四边形 ABPC 的面积.43m 3 3 ⎝ ⎭参 考 答 案动脑动手1. 设每件提高 x 元（0≤x≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100- 10x ）件，设每天所获利润为 y 元，依题意，得y = (2 + x )(100 - 10x )= -10x 2 + 80x + 200 = -10(x - 4)2 + 360.∴当 x=4 时（0≤x≤10）所获利润最大，即售出价为 14 元，每天所赚得最大利润 360 元.2.∵ y = mx 2 - ⎛3m +4 ⎫x + 4 ，⎪ ⎝⎭∴当 x=0 时，y=4.当 mx 2 - ⎛3m +4 ⎫x + 4 = 0, m ≠ 0 时 m= 3, m = 4.⎪ 1 ⎝⎭23m即抛物线与 y 轴的交点为（0，4），与 x 轴的交点为 A （3，0）， B⎛ 4 ,0⎫.（1） 当 AC=BC 时，4= -3, m = - 4. 3m 93m ⎪ ∴ （2）当 AC=AB 时，y = - 4x 2 + 49AO = 3, OC = 4, AC = 5 .∴3 -= 5 .1 2∴ m 1 = 6 , m 2 = - 3.当 m = 1 时， y = 1 x 2 - 11x + 4 ；6 6 6 当 m = - 2 时， y = - 2 x 2 + 2x + 4 .3 3 3（3） 当 AB=BC 时，4 3m 42+⎛4 ⎫2⎝3m ⎭⎪3 -=，∴m =-8 . 7∴y =-8x 2+44x + 4 .7 21可求抛物线解析式为：y =-4x 2+ 4, y =1x 2-11x + 4, y =-2x 2-2x + 4 或9 6 6 3 3y =-8x 2+44x + 4 .7 213.（1）∵∆= [-(m 2- 5)]2- 4(2m2+ 6)=m2+ 2m2+1= (m2+ 1)2 0图代 13-3-21∴不论 m 取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点.令 y=0，得x 2- (m2+ 5)x + 2m2+ 6 = 0(x - 2)(x -m2- 3) = 0 ，∴x1= 2, x2=m2+ 3 .∴两交点中必有一个交点是 A（2，0）.（2）由（1）得另一个交点 B 的坐标是（m2+3,0）.d =m2+ 3 - 2 =m2+ 1 ，∵m2+10>0，∴d=m2+1.（3）①当 d=10 时，得 m2=9.∴A（2，0），B（12，0）.y =x 2- 14x + 24 = (x - 7)2- 25 .该抛物线的对称轴是直线 x=7，顶点为（7，-25），∴AB的中点 E（7，0）. 过点 P 作PM⊥AB 于点 M，连结 PE，⎩⎨ ⎨ 则 PE = 1AB = 5, PM 2 = b 2 , ME 2 = (7 - a )2 ，2∴(7 - a )2 + b 2 = 52 .①∵点 PD 在抛物线上，∴b = (a - 7)2 - 25 .②解①②联合方程组，得b 1 = -1, b 2 = 0 .当 b=0 时，点 P 在 x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求 b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b <-1； △ ABP 为钝角三角形时，则 b >-1，且 b≠0. 同步题库一、 填空题1. y = - 1 (x + 2)2 , y = - 1 (x + 2)2 - 3 ；2. x = 1 , 1 ；3. y = (x + 3)2 - 9 ；4.224 8y = -2(x - 2)2 + 2 ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，⎛ b 4ac - b 2 ⎫ bx >-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，- , ⎝ 2a⎪, x = - ； 10.向下， 4a ⎭ 2a （h,0），x=h ；11.-1，-2； 12.x <-1； 13.-17，（2，3）；14. y = ⎛x + ⎝ 1 ⎫2⎪ ⎭ - 1 ； 15.10.9二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设 M （x 1，0），N （x 2，0），且 x 1≠x 2，则 x 1，x 2 为方程 x 2+2ax- 2b+1=0的两个实数根， ∴x 1 + x 2 = -2a ， x 1 · x 2 = -2b + 1 .∵x 1，x 2 又是方程- x 2 + (a - 3)x + b 2 - 1 = 0 的两个实数根，∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.⎧- 2a = a - 3,∴⎨- 2b + 1 = 1 - b 2 .⎧a = 1, 解得⎩b = 0; ⎧a = 1,或 ⎩b = 2.3⎨ ⎨ 当 a=1,b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0 舍去.当 a=1；b=2 时，二次函数 y = x 2 + 2x - 3 和 y = -x 2 - 2x + 3 符合题意.∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数 y = x 2 + 2ax - 2b + 1的图象对称轴为 x = -a ，二次函数 y = -x 2+ (a - 3)x + b 2- 1 的图象的对称轴为 x = a - 3 ，2又两个二次函数图象都经过 x 轴上两个不同的点 M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线. a - 3∴ - a =.2 解得a = 1 .∴两个二次函数分别为 y = x 2 + 2x - 2b + 1和 y = -x 2 - 2x + b 2 - 1 .依题意，令 y=0，得x 2 + 2x - 2b + 1 = 0 ，- x 2 - 2x + b 2 - 1 = 0 .①+②得b 2 - 2b = 0 .解得b 1 = 0, b 2 = 2 .⎧a = 1, ∴⎩b = 0; ⎧a = 1,或 ⎩b = 2.当 a=1，b=0 时，二次函数的图象与 x 轴只有一个交点，∴a=1，b=0 舍去.当 a=1，b=2 时，二次函数为 y = x 2 + 2x - 3 和 y = -x 2 - 2x + 3 符合题意.∴ a=1，b=2.32.解：∵ y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 B （x 1，0），C （x 2，0），b c ∴ x 1 + x 2 = - a , x 1 ⋅ x 2 = a.又∵ x 2 + x 2 = 13 即(x + x )2 - 2x x = 13 ，12121 2∴(- b )2 - 2 ⋅ c= 13 . ①a a1又由 y 的图象过点 A （2，4），顶点横坐标为 ，则有24a+2b+c=4，②解由①②③组成的方程组得- b = 1 . ③2a 2a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6. 与 x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）. 与 y 轴交点 D 坐标为（0，6）.设 y 轴上存在点 P ，使得△POB∽△DOC，则有 （1） 当 B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有OB = OP, OB = 2, OC = 3, OD = 6 . OC OD∴OP=4，即点 P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当 P 点坐标为（0，4）时，可设过 P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+4. 有 0=-2k-4. 得 k=-2.∴ y=-2x-4.或OB = OD OP , OB = 2, OD = 6, OC = 3 .OC∴OP=1，这时 P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当 P 点坐标为（0，1）时，可设过 P ，B 两点直线的解析式为 y=kx+1. 有 0=-2k+1.1得k =∴y = - .2 1x + 1 .2当 P 点坐标为（0，-1）时，可设过 P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1， 1得 k = - .2 1∴ y = - 2x - 1.（2） 当 B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9， 或 y=3x-9，1或 y = - x + 1 ，3 1或y = x - 1.3⎩⎪⎩ 33.解：（1）在直线 y=k(x-4)中， 令 y=0，得 x=4. ∴A 点坐标为（4，0）. ∴ ∠ABC=90°. ∵△CBD∽△BAO，∴ OB =OC OA ，即 OB 2=OA·OC. OB又∵CO=1，OA=4， ∴ OB 2=1×4=4. ∴OB=2（OB=-2 舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点 B （0，2）的坐标代入 y=k(x-4)中，得 k = - 1.21∴直线的解析式为： y = - 2x + 2 .（2）解法一：设抛物线的解析式为 y = a (x + 1)2 + h ，函数图象过 A （4，0），B （0，2），得⎧25a + h = 0,⎨a + h = 2. 解得 a = - 1 12, h = 25 .12 ∴抛物线的解析式为： y = - 1 (x + 1)2 + 25.12 12解法二：设抛物线的解析式为： y = ax 2 + bx + c ，又设点 A （4，0）关于 x=-1 的对称是 D.∵CA=1+4=5，∴ CD=5. ∴ OD=6. ∴D 点坐标为（-6，0）. 将点 A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得⎧16a + 4b + c = 0,⎨c = 2,⎪36a - 6b + c = 0. 解得 a = - 1 12 , b = - 1, c = 2 .6 ∴抛物线的解析式为： y = - 12 x 2 - 1 x + 2 . 634. 解：（1）A ，B 的横坐标是方程 ax 2- 3x + c = 0 的两根，设为 x 1,x 2（x 2>x 1），C 的纵坐标是 C.19 - 4ac 55 5 又∵y 轴与⊙O 相切， ∴ OA·OB=OC 2.∴x 1·x 2=c 2.又由方程 ax 2 - 3x + c = 0 知∴ c 2 = c，即 ac=1.ax 1 ⋅ x 2= c ， a（2） 连结 PD ，交 x 轴于 E ，直线 PD 必为抛物线的对称轴，连结 AD 、BD ，图代 13-3-221∴AE = AB .2 ∠ACB = 1∠ADB = ∠ADE =.2∵a >0,x 2>x 1，∴AB = x 2 - x 1 =a = a . AE =5 .2a又ED=OC=c ，AE∴（3） 设∠PAB=β，tg == . DE 2∵P 点的坐标为⎛ 3 ,- 5 ⎫，又∵a >0，2a 4a ⎪ ⎝ ⎭ ∴在 Rt△PAE 中， PE = 5 .4a ∴tg =PE= . AE 2⎪ ⎨∴ tgβ=tgα. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE. ∵ ∠ADE+∠DAE=90° ∴PA 和⊙D 相切.35. 解：（1）设 DGD ＇所在的抛物线的解析式为y = ax 2 + c ，由题意得 G （0，8），D （15，5.5）.⎧8 = c ,⎧a = - 1 , ∴ ⎩5.5 = 25a + c . 解得⎨ 90 ⎪⎩c = 8.∴DGD＇所在的抛物线的解析式为 y = - 190x 2 + 8 .∵ AD = AC 1 且 AD=5.5, 4∴ AC=5.5×4=22(米).∴cc ' = 2OC = 2 ⨯ (OA + AC ) = 2 ⨯ (15 + 22 ）答：cc ＇的长为 74 米.（2）∵=74（米）.EB BC= 1, BE = 4 ， 4∴ BC=16. ∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）. 答：AB 和 A ＇B ＇的宽都是 6 米. （3）在 y = - 1 90x 2 + 8 中，当 x=4 时，y = - 1 90 37 ⨯16 + 8 = 7 37 .45 19 ∵7 - (7 + 0.4) = 45 > 0. 45∴该大型货车可以从 OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1 与⊙O 2 外切于原点 O ， ∴A，B 两点分别位于原点两旁，即 a <0，b >0.∴方程 x 2 - (m + 4)x + m + 2 = 0 的两个根 a ，b 异号. ∴ab=m+2<0，∴m <-2. （2） 当 m <-2，且 m≠-4 时，四边形 PO 1O 2Q 是直角梯形.根据题意，计算得 S= 1 b 2 （或 1 a 2或 1）. 四边形PO 1O 2Q2 2m=-4 时，四边形 PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得 S = 1 b 2 （或 1a 2 或 1）.四边形PO 1O 2Q2 2（3）∵∆ = (m + 4)2 - 4(m + 2) = (m + 2)2 + 4 >0⎩⎨⎨⎩∴方程 x 2 - (m + 4)x + m + 2 = 0 有两个不相等的实数根. ∵ m >-2，⎧a + b = m + 4 0, ∴⎨ab = m + 2 0.∴ a >0，b >0.∴⊙O 1 与⊙O 2 都在 y 轴右侧，并且两圆内切. 37.解：（1）设 A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0）， ∵A，B 两点在原点的两侧， ∴ x 1x 2<0，即-（m+1）<0，解得 m >-1.∵∆ = [2(m - 1)]2 - 4 ⨯ (-1) ⨯ (m + 1)当 m >-1 时，Δ>0， ∴m 的取值范围是 m >-1.= 4m 2 - 4m + 8= 4(m - 1)2 + 72（2）∵a∶b=3∶1，设 a=3k ，b=k （k >0）， 则 x 1=3k ，x 2=-k ， ⎧3k - k = 2(m - 1),∴ ⎩3k ⋅ (-k ) = -(m + 1).解得m = 2, m = 1. 1 231 4 ∵ m = 3时， x 1 + x 2 = - 3（不合题意，舍去），∴m=2∴抛物线的解析式是 y = -x 2 + x + 3 .（3） 易求抛物线 y = -x 2 + 2x + 3 与 x 轴的两个交点坐标是 A （3，0），B （-1，0）与 y 轴交点坐标是 C （0，3），顶点坐标是 M （1，4）. 设直线 BM 的解析式为 y = px + q ， ⎧4 = p ⋅1 + q , 则解得∴直线 BM 的解析式是 y=2x+2.⎩0 = p ⋅ (-1) + q .⎧ p = 2, ⎨q = 2.2设直线 BM 与y 轴交于 N，则N 点坐标是（0，2），∴S∆BCM=S∆BCN+S∆MNC=1⨯1⨯1 +1⨯1⨯1设P 点坐标是（x,y），∵2 2= 1.S∆ABP= 8S∆BCM，1∴⨯AB ⨯y2= 8 ⨯1.即1⨯ 4 ⨯y2= 8 .∴y = 4 .∴ y =±4 .当y=4 时，P 点与M 点重合，即 P（1，4），当y=-4 时，-4=-x2+2x+3，解得∴满足条件的 P 点存在.x = 1 ± 2 .P 点坐标是（1，4），(1 + 2 2,-4),(1 -22,-4) .38.（1）解：∵AD 切⊙O 于 D，AE=2，EB=6，∴AD2=AE·AB=2×（2+6）=16.∴AD=4.图代 13-2-23AD（2）①无论点 A 在EP 上怎么移动（点A 不与点 E 重合），总有AH证法一：连结 DB，交 FH 于 G，∵AH 是⊙O 的切线，∴∠HDB=∠DEB.又∵BH⊥AH，BE 为直径，∴∠BDE=90°有∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=ED.FH=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF⊥AB，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH， ∴ △DFB∽△DHB. ∴BH=BF， ∴△BHF 是等腰三角形. ∴BG⊥FH，即 BD⊥FH.AD ∴ED∥FH，∴ AH = ED .FH证法二：连结 DB ， ∵AH 是⊙O 的切线， 图代 13-3-24∴∠HDB=∠DEF.又∵DF⊥AB，BH⊥DH，∴ ∠EDF=∠DBH. 以 BD 为直径作一个圆，则此圆必过 F ，H 两点， ∴∠DBH=∠DFH，∴∠EDF=∠DFH. ∴ ED∥FH.∴AD = ED .AH FH②∵ED=x，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y. 又∵DF 是 Rt△BDE 斜边上的高， ∴ △DFE∽△BDE，∴EF = ED ，即 ED 2 = EF ⋅ EB . ED EB∴ x 2 = 6(6 - y ) ，即 y = - 1x 2 + 6 .6∵点 A 不与点 E 重合，∴ED=x >0.A 从 E 向左移动，ED 逐渐增大，当 A 和 P 重合时，ED 最大，这时连结 OD ，则 OD⊥PH. ∴ OD∥BH.又PO = PE + EO = 6 + 3 = 9, PB = 12 ，OD = PO , BH = OD ⋅ PB = 4 ，BH PB PO∴BF = BH = 4, EF = EB - BF = 6 - 4 = 2 ，由 ED 2=EF·EB 得x 2 = 2 ⨯ 6 = 12 ，3 3 3 3 585 2 5 2 2 2即 ⎛ 2 2 ⎪ 2 ⎪4 ∵x >0，∴ x = 2 .∴0<x≤ 2 .（或由 BH=4=y ，代入 y = - 1x 2 + 6 中，得 x = 2 ）6故所求函数关系式为 y = - 1x 2 + 6 （0<x≤ 2 ）.6 39.解：∵ y = x 2 - ⎛ m - 4m + 5 ⎫x - ⎛ 2 - 4m + 9 ⎫ = (x + 2)[x - ⎛m 2 - 4m + 9 ⎫] ,⎪ ⎝ ⎭⎛ 29 2 m ⎝⎫ ⎡ ⎛ 2 ⎪ ⎪⎭ ⎝ ⎭9 ⎫⎤ ∴可得 A (-2,0), B m - 4m + ,0⎪, C ⎢0,-2 m - 4m + ⎪⎥ .2 2 ⎝ ⎭ ⎣ ⎝ ⎭⎦（1）∵△ABC 为直角三角形，∴ OC = AO ⋅ OB ，4 m - 4m + ⎝9 ⎫2⎪ ⎭= 2 ⨯ ⎛ m 2 - 4m + ⎝9 ⎫ ，⎭化得(m - 2)2 = 0 .∴m=2.（2）∵AC=BC，CO⊥AB，∴AO=BO，即 m 2 - 4m + 9= 2 .2∴ OC = ⎛ 2 m ⎝2- 4m + 9 ⎫ = 4 .∴ AC = BC = 5 . ⎭ 2 过 A 作 AD⊥BC，垂足为 D ， ∴ AB·OC=BC·AD.8 ∴AD =.∴sin ∠ACB =AD == . AC5（3） S ∆ABC=AB ⋅ CO图代 13-3-25122 22 5 53 - ⎪ 5 ⎪ 5 2 5 5 5 =1 ⎛ m2 - 4m + 9 + 2⎫ ⋅ ⎛ 2 - 4m + 9 ⎫⎪ 2 m ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ = (u + 2)u = (u + 1)2 - 1.∵ u = m 2 - 4m + 9 ≥ 1，2 21 5∴当u = ，即 m = 2 时，S 有最小值，最小值为 .2 440.解：（1）∵OA⊥OB，OA∶OB=4∶3，⊙D 的半径为 2， ∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8. A 点坐标为⎛ 32 ,0⎫ ，B 点坐标为⎛ 0, 24 ⎫. ⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 5 ⎭∴⊙C 的圆心 C 的坐标为⎛ 16 , 12 ⎫.⎪ ⎝ ⎭（2） 由 EF 是⊙D 切线，∴OC⊥EF.∵CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO，∠COB=∠CBO. ∴ Rt△AOB∽Rt△OCE∽Rt△FCO.∴OE = OC , ABOA OF = OC .AB OB20∴ OE = 5, OF = .3E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎛ 0, 20 ⎫，⎪ ⎝ ⎭ ∴切线 EF 解析式为 y = - 4 x + 20.3 3（3） ①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎛ 16 , 12 + 4⎫，可得⎧ b ⎪ 2a= 16 , 5 ⎪ ⎝ ⎭⎧a = - 5 , ⎪ ⎪ 4ac - b 2 = 32 ⎪ 32 ⇒ b = 1, ⎨⎪⎪c = ⎩∴4a 24 .5 ⎨ 5 ⎪ ⎪c = ⎩ 24 . 5 y = - 5 32x 2 + x + 24. 5 ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎛ 16 , 12 - 4⎫，得⎪ ⎝ ⎭2- ⎪ ⎪ ⎧ b ⎪ 2a = 16 , 5 ⎧a = 5 ,⎪ 4ac - b 28 ⎪ 8 ⎪ ⎨4a = - , ⇒ 5 ⎨b = -4,⎪⎪c = ⎩ ∴24 .5 ⎪ ⎪c = ⎩ 24 . 5 y = - 5 x 2 - 4x + 24. 8 5 综合上述，抛物线解析式为 y = - 5 x 2 + x + 24 或 y = 5 x 2 - 4x + 24.41.（1）证明：由32 5 8 5⎧ y = 1 x ,⎪⎨ ⎪⎩ y = -x + m , 有 1x = -x + m ， 2∴∴交点 M ( 2 3m , 1 3m ) .⎛3 2 2 ⎫2 x = m , x =1 2 m , y = 3 1 m . 3此时二次函数为 y = x - m ⎪ + m⎝ 3 ⎭ 3= x 2 - 4 mx + 4 m 2 + 1 m .3 9 3由②③联立，消去 y ，有x 2 - ⎛ 4 m - ⎫ + 4m 2 - 2 m = 0 .⎝⎡ ⎛ 41⎪x ⎭ 9 3 ⎫⎤ 2⎛ 4 2 ⎫ ∆ = ⎢- m - 1⎪⎥ - 4 m 2 - m ⎪⎣ ⎝ 3⎭⎦ ⎝ 9 3 ⎭ = 16 m 2 - 8 m + 1 - 16 m 2 + 8 m 9 3 9 3 = 1 > 0.∴无论 m 为何实数值，二次函数 y = x 2 + px + q 的图象与直线 y = -x + m 总有两个不同的交点.3 21 2 ⎫2 ⎫图代 13-3-26（2）解：∵直线 y=-x+m 过点 D （0，-3）， ∴-3=0+m ， ∴m=-3.∴M（-2，-1）. ∴二次函数为y = (x + 2)2 - 1 = x 2 - 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) .图象如图代 13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为 Rt△，且∠CMA=Rt∠， ∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在 y = x 上，可设⎛ 1 ⎫，由 MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上，2P n , 2 n ⎪ ⎝ ⎭∴ ∠CPM=Rt∠.过 P 分别作 PN⊥y，轴于 N ，PQ⊥x 轴于 R ，过 M 作 MS⊥y 轴于 S ，MS 的延长线与 PR 的延长线交于点 Q. 由勾股定理，有MP 2 =MQ 2+ QP2 ，即 MP 2 = (n + 2)2+ ⎛ 1 ⎝2n + 1⎪ .⎭CP 2 = NC 2 + NP 2 = ⎛3 - ⎝ 1 ⎫2n ⎪ 2 ⎭+ n 2 .CM 2 = 20 .而MP 2 + CP 2 = CM 2 ，∴(n + 2)2 + ⎛ 1 ⎝ 2n + 1⎪ ⎭ + ⎛3 - ⎝ 1 ⎫2n ⎪ 2 ⎭ + n 2 = 20 ， 即 5 n 2+ 2n - 6 = 0 ， 2∴5n 2 + 4n - 12 = 0 ，(5n - 6)(n + 2) = 0.2 5 5 ∴n = 6, n = -2 . 15 2而 n 2=-2 即是 M 点的横坐标，与题意不合，应舍去. 6∴ n = ，5 1 3 此时∴P 点坐标为⎛ 6 , 3 ⎫.n = . 2 5⎪ ⎝ ⎭42.解：（1）根据题意，设点 A （x 1，0）、点（x 2，0），且 C （0，b ）， x 1<0，x 2>0，b >0，∵x 1，x 2 是方程- x 2 + ax + b = 0 的两根，∴x 1 + x 2 = a , x 1 ⋅ x 2 = -b .在 Rt△ABC 中，OC⊥AB，∴OC 2=OA·OB. ∵ OA=-x 1,OB=x 2， ∴ b 2=-x 1·x 2=b. ∵b >0,∴b=1，∴C（0，1）.（2）在 Rt△AOC 的 Rt△BOC 中，tg- tg= OC - OC = - 1 - 1 = - x 1 + x 2 = a = 2 . OA OB ∴x 1 x 2 a = 2 .x 1 x 2 b∴抛物线解析式为 y = -x 2 + 2x + 1 .图代 13-3-27（3）∵ y = -x 2 + 2x + 1 ，∴顶点 P 的坐标为（1，2），当- x 2 + 2x + 1 = 0 时， x = 1 ± .∴ A (1 - 2,0), B (1 + 2,0) .延长 PC 交 x 轴于点 D ，过 C ，P 的直线为 y=x+1， ∴点 D 坐标为（-1，0）. ∴S 四边形ABPC = S ∆DPB - S ∆DCA= 1⋅ DB ⋅ y - 2pAD ⋅ yc= 1 ⨯ (2 + 2 2) ⨯ 2 - 1⨯ (2 - 2 2) ⨯1 = 2 + 3 22 (平方单位).1 2。