第23章概率初步教材分析【知识要点1】确定事件和随机事件在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件（certain event）例如：地球绕太阳公转.在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件（impossible event）例如：有人把石头孵出了小鸡.必然事件和不可能事件统称为确定事件.而在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（random event），也称为不确定事件，例如过马路时恰好遇到红灯.【习题精选】1．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？①在十进制中1+1=2 ；②1+2>3；③在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有4张A；④ 10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只；⑤平面上任何一个三角形的三个内角和都是180度；⑥明天太阳从西边出来.2．判断下列说法是否正确①“从地面往上抛的硬币会落下”是随机事件；（）②“软木塞沉到水底”是不可能事件；（）③“买一张彩票中大奖”是必然事件；（）④“明天会下雨”是随机事件. （）【思维误区】本知识在理解和运用中常见的错误是没有正确理解确定事件的概念，忽略不可能事件也是确定事件。

【例】下列事件中，确定事件的个数是（）(1)东边日出西边雨；(2)抛出的篮球会下落；(3)没有水分，种子发芽；(4)367人中至少有２人出生日期相同。

(Ａ)１个;(Ｂ)２个;(Ｃ)３个;(Ｄ)４个【错解】Ｂ。

【正解】Ｃ【错解分析】本题错误原因是没有准确把握确定事件的概念，错误认为确定事件就是必然事件，(１)是随机事件，(２)(３)是确定事件中的必然事件，而(３)也是确定事件，它是确定事件中的不可能事件。

另外：对于本题中的(４)，教参中指出不要和学生提出“抽屉原理”，其实这本是抽屉原理最容易解决的问题。

通过给学生例举“三个苹果放入两个抽屉中，则至少有两个苹果在一个抽屉中”，才能让学生更进一步理解，更好的把握“13个人中至少有2人出生月份相同”，“13张扑克牌中，至少有四张扑克牌的花色相同”这类事件属于必然事件。

【知识要点2】事件发生的可能性各种事件发生的可能性有大有小，课用普通词语来表述，为了叙述的方便，我们可以大写的英文字母来表示事件，如事件Ａ、事件Ｂ……等，事件A的概率记作P(A)。

事件发生的可能性大小常用下面的几种词语来描述：一定、很可能、可能、不太可能、不可能。

必然事件发生的机会是100%，不可能事件发生的机会是0，而随机事件发生的机会是介于0和100%之间。

注意：不太可能是说可能性很小，但不是没有；同样的，很有可能是指可能性很大，但没有达到100%，不能将概念混淆。

【习题精选】1.木盒里有10个红球，3个黄球和1个白球，这些球只是颜色不同，大小一样.从木盒中任意摸出1个球，（1）摸出1个黄球；（2）摸出1个白球；（3）摸出1个绿球；（4）摸出一个红球；（5）摸出一个球颜色是红色或者黄色或者白色.如果我们用P1，P2，P3，P4，P5来分别表示它们事情发生可能性的大小，那么如何把它们从大到小排列呢？分析：事件5是必然事件，所以可能性最大，而事件3是不可能事件，所以可能性为0，而事件1，2，4都是随机事件通过它们个数的多少来判断发生可能性的大小，即事件2“不太可能”发生，事件4“很有可能”发生，事件1“有可能”发生.所以他们从大到小的顺序是：P5，P4，P1，P2，P32.比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列：⑴买一张发行量很大的彩票恰好中500万；⑵下雨天，在路上遇到撑伞的行人；⑶抛掷一枚硬币，落地后反面朝上.【思维误区】本知识在理解与运用中常见的错误是：区分“不太可能”与“不可能”以及“很有可能”与“必然”时易出错。

【例】下列事件中，那些是必然发生的？哪些是不可能发生的？（1）一个袋子中有10个红球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀再取一球，如此反复进行十次，十次全部取到白球；（2）从有理数中任取一数平方之后比0大；（3）有4名学生，其中有七年级的，有八年级的，也有九年级的，则他们中至少有2名是同一年级的；（4）今年20岁，明年18岁。

【错解】（1）不可能（2）必然（3）可能（4）不可能【错解分析】（1）将“可能”当成了“不可能”；（2）将“可能”当成了“必然”；（3）将“必然”当成了“可能”。

【正解】（1）可能（2）可能（3）必然（4）不可能【知识点3】事件的概率几种事件发生的概率：数学中，研究大与小一般用数量来刻画，“概率”这个概念就是由此而产生的，概率就是利用0---1之间的数来刻画事件发生的可能性的大小的。

既然概率就是可能性，则必然事件发生的可能性是1，不可能事件发生是0。

由此得出，必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0。

不确定事件发生的概率在0—1之间。

【注意】一个不确定事件发生的可能性再大，它发生的概率也不会大于1。

用频率来估计概率：对一个随机事件进行反复试验，把该事件发生的次数称为该事件发生的“频率”，把频数与试验总次数的比值称为该事件发生的“频率”。

通常把某事件在大数次试验中发生的频率，作为这个事件的概率的估计值。

等可能试验：如果一项可以反复进行的试验具有以下特点：（1）试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；（2）任何两个结果不可能同时出现，那么这样的试验叫做等可能试验。

【注意】在理解等可能性时应从以下两方面理解：（1）所发生的结果是有限个（或是无限个），每次试验有且只有其中的一个结果出现；（2）每个结果出现的机会均等。

等可能试验中事件的概率：如果一个试验共有n个等可能的结果，事件A包含其中的k个结果，那么事件A的概率P（A）=事件A包含的可能结果/所有的可能结果总数=k/n【习题精选】1.写出下列事件的概率：填“接近1”“接近0”（1）用A 表示“上海天天是晴天”，则P(A)：____________（2）用B 表示“新买的圆珠笔写得出字”，则P(B) ：___________（3）用C 表示“坐火车出行，遭遇出轨”，则P(C) ：____________（4）用D 表示“当m 是正整数时，2m 是偶数”，则P(D) ：________2.全班同学一起做摸球试验，布袋里的球除了颜色外其它都一样，每次从布袋里摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，一共摸了200次，其中131次摸出红球，69次摸出白球，如果布袋里有3个球，请你估计布袋里红球和白球的个数3．甲乙两人轮流掷一枚材质均匀的骰子，每人各掷了8次，结果甲有三次掷得“合数点”，而乙没有一次掷得“合数点”，如果两人继续掷，那么下一次谁掷得“合数点”的机会比较大？（这里：1，2，3，4，5，6，中的合数是哪几个？）【思维误区】本知识在理解和运用中的错误是：1、 不清楚频率与概率的区别与联系。

2、 不理解等可能试验的概率，错误套用等可能的概率公式。

【例1】 同时抛掷两枚质地均匀的正方形骰子，出现“朝上两面的点数和为奇数”的概率为 。

【错解】 115 【错解分析】 本题产生错解的原因是没有理解两枚骰子在抛出后朝上两面的点数情况，每枚骰子都有6个面，每个面上的点数分别是1，2，3，4，5，6，则两枚朝上两面的点数和分别是1加1，1加2，。

，6加6，共有36种情况，其中点数和为奇数的有18种情况，故概率应为2分之1。

【正解】 21 【例2】 抛掷两枚均匀硬币，标有正反面，硬币落地后，求朝上一面市“一正一反”的概率是多少？【错解】 两枚硬币落地后只有以下三种情况：(1)全是正面，(2)一正一反，(3)全是反面，因此这三个事件发生的可能性是相等的，这是一个等可能试验，所以P(朝上一面是“一正一反”)= 31。

【错解分析】错解的原因在于只知道试验可能出现的三种结果，但这三种结果的发生不是等可能的，所以这类题目的关键是先要弄清楚事件发生可能的总数。

【正解】两枚硬币分别标记为硬币1和硬币2，落地后出现正或反的可能性是一样的，这是一个等可能试验，可能的结果分别为：（1）第一次正面，第二次正面；（2）第一次正面，第二次反面；（3）第一次反面，第二次正面；（4）第一次反面，第二次反面。

所以P(朝上一面是“一正一反”)= 42=21。

【知识要点4】利用“树形图”、“列表法”、“几何法”等方法进行概率计算1. 在等可能试验中运用概率计算公式的关键是写出所有灯可能的结果数n 和事件A 包含的结果数k,而“枚举法”是常用的一种方法。

“树形图”、“列表法”是枚举法的一种表示形式。

2. 生活中有些灯可能试验与面积有关，相关的概率问题可以通过有关度量计算来解决。

【习题精选】1. 将圆盘分为圆心角相等的8个扇形，各扇形涂有各种颜色，如图所示，任意转动转盘，停止后指针落在每个扇行内的可能性大小都一样（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.求指针分别落在“红色”、“黄色”、“绿色”扇形内的概率.解：根据扇形圆心角相同，可以知道，转盘停止时，指针所在的扇形有8个等可能的结果.设事件A ：“指针落在红色区域内”；事件B ：“指针落在黄色区域内”；事件C ：“指针落在绿色区域内”.事件A 包含其中的1个结果，得P （A ）＝81. 事件B 包含其中的3个结果，得P （B ）＝83. 事件C 包含其中的4个结果，得P （C ）＝21 2.如图，转盘A 等分为三个扇形，号码为①、②、③；转盘B 分为两个扇形（即半圆），号码为①、②.甲乙两位同学想这样玩游戏：甲任意转动A 盘，停止时指针得到一个号码；乙任意转动B 盘，停止时指针得到一个号码（当指针落在扇形边界时，统计在逆时针方向相邻的扇形内）.如果两号码的积为奇数，那么甲胜；如果两号码的积为偶数，那么乙胜.判断这个游戏是否公平，如果不公平，请设计一个公平的游戏规则.解：用树形图展示一次游戏的所有等可能的结果，如图所示，共有6个等可能的结果：（①①）、（①②）、（②①）、（②②）、（③①）、（③②）设事件D ：“两号码之积为奇数”；事件E ：“两号码之积为偶数”.P （D ）＝31，P （E ）＝32 甲胜的概率比乙胜的概率小31，可见这个游戏规则对乙很有利，是不公平的.3.木盒里有1个红球和1个黄球，这两个球除颜色外其它都相同，从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球．两次都摸到红球的概率是多少？摸到1个红球1个黄球的概率又是多少？第一次 第二次故，一共有四种可能的结果出现红（黄，红）黄（黄，黄）红（红，红）黄（红，黄）黄红本题结论：两次都摸到红球的概率是P(A)＝14； 摸到1个红球1个黄球的概率是P(B)＝2142=. 4.甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？ 分析：（1）一个回合：那么是几次等可能试验？树形图应该画几级？（甲、乙独立出拳的，应该算两次）（2）每一个级别里应该画几条树枝？（每个试验的结果有几种可能性）师生共同画出适合本题的树形图：观察树形图：共有9种可能的出拳方式. 一个回合定胜负的出拳方式有6种.故本题结论为P （A ）＝6293= 【说明】画树形图，要依据题意，考虑2个问题：（1）几个级别？——几次试验;（2）几条树枝？——等可能结果.5.甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相等，如果两人到车站后见车就上，那么两人同乘一辆车的概率是多少？分析：甲乙两人到达车站的时刻在1时至2时之间，其中有无数个等可能时刻.把两人到达车站的时刻用有序数对来表示，则在平面内可得到相应的点.这样两人到达车站的所有可能的时刻对应于一个平面区域，问题就转化为区域面积的计算.解法一：设甲到达车站的时刻为1时x 分，乙到达车站的时刻为1时y 分，则600≤≤x ，600≤≤y .如图，只有当点（x ，y ）落在阴影区域时，甲乙两人才能同乘一辆车.设事件A ：“甲乙两人同乘一辆车”，则P （A ）＝21. 上述解法学生不容易理解，很多学生听讲解后甚感糊涂。