6.1.1非饱和带水分的基本知识
1.含水率、饱和度和田间持水量
在非饱和带中，空隙空间的一部分充填了水，其余部分充填了空气。水分和空气的相对份量是变化的。可以用二个变量来表示水分含量的多少。—为含水率 ，表示单位体积中所占的体积：
(6-1)
式中， 为含水率，无量纲；(Vw)0为典型单元体中水的体积；V0为典型单元体的体积；另—个为饱和度Sw，表示岩石的空隙空间中水所占据部分所占的比例：
v=K( )J (6-12)
如用渗透率来表达时，则有：
(6-13)
式中：k一饱和土的渗透率；
k(Sw)——非饱和土的渗透率，为饱和度Sw的函数；
kr(Sw)一—相对渗透率， ；
——水的动力粘滞系数。
相对渗透率为非饱和土的渗透率和同一种土饱和时的渗透率的比值，为含水率 或饱和度Sw的函数。非饱和砂的相对渗透率 和饱和度Sw的关系表示在图6-4中。当饱和度(含水率)减少时，大孔隙首先开始排水，渗透在较小的孔隙中进行，过水断面减小，渗流途径的弯曲度增加，相对渗透率急剧减小。到达A点，孔隙中的水变得不连续了，相对渗透率等于零。此时的饱和度为身Sw0，相应的含水率为 0＝n Sw0。
这是关于（H—Hf）的一阶线性微分方程。按已知公式，可求得其道解为：
（6-29）
再利用初始条件：
带入上式，可得C=0。有此求得其解为
（6-30）
把它代入(6-28)式可得：
（6-31）
把它代入(6-26)式，便可得只包括裂隙水头Hf的方程：
（6-32）
上式是描述承压双重介质裂隙水流的基本微分方程。
在二维情况下可简化为：
式中 为裂隙贮水率。
单元体内水量变化必然引起贮存的变化，两者应相等。于是得
（6-26）
同理，对孔隙有
（6-27）
式中， 、 、 为沿x，y，z轴方向孔隙的主渗透系数， 为岩块的贮水率。
由于孔隙中的水力坡降很小，可以认为：
故有
（6-28）
式中 ，称为承压水迁移系数。为了建立关干Hf的方程，把(6-28)式改写为
（6-33）
式中 、 为裂隙的主导水系数(分别与x, y轴平行)。 为裂隙和岩块的贮水系数。
把上述方程和描述多孔介质中渗流的基本微分方程比较，其不同之处只是多了一项：
（二维情况下为 ）
从前面的讨论中不难发现，它表示：
因此，它的物理意义为单位时间内单位体积含水层(二维情况下为单位面积的柱体)中从孔隙流入裂隙的水量。它是一个和时间有关的量，抽水早期，即t值很小时，它很小，抽出的水主要来自裂隙内水的释放，从而造成裂隙水头的迅速下降。随着时间的增长，这一水量相应地增大，裂隙水头的下降速度也随之减缓。可见，多孔岩块中的水是逐渐释放出来的。这是由该数学表达式的性质决定的，从而造成孔隙水头的下降落后于裂隙水头的下降，在时间上存在着迟后。因此，这部分水量也可以称为延迟弹性释水量。随着时间的增长，迟后效应逐渐变小，孔隙中释放的水量逐渐跟得上裂隙中水位的下降，最后迟后效应小到可以忽略不计。和潜水Boulton方程比较，不难发现，两者在形式上是相似的，都包含有延迟效应项，即延迟弹性释水量项和潜水迟后重力排水项。但前音有明确的物理含意。
z轴向上取正值，z轴向下取负值。
(2)以毛管压力水头为因变量的表达式：从水分特征曲线可知，毛管压力水率之间存在着函数关系。因此，非饱和土的渗透系数同样是毛管压力水头的函数，即K=K(hc)或K()，C＝C(hc)或C()。于是，
（6-20）
（6-21）
考虑到
（6-22）
(3)饱和—非饱和流的表达式：在饱和—非饱和流动中，常以压强p或水头H为因变量，有 。如果不忽略密度的变化，连续性方程(6-14)可写为：
式中， 为裂隙的主渗透系数(与x轴平行)。同理可得，t时段内沿y轴方向和z轴方向净流入这个单元体的水量分别为：
和
式中， 、 为裂隙的主渗透系数(分别与y轴和z轴平行)。根据假设，孔隙中释放出的水要进入裂隙，其量为：
因此，在t时间内单元体中总的水量变化(净流入量)为：
（6-25）
这个时间内，单元体内由于贮存的变化所引起的水量变化为：
（6-23）
再将v用运动方程(6-13)代入，容重＝g，含水率＝nSw，则得：
(6-24)
该方程中的某些参数的取值范围如下：
以上考虑的模型都是单相流模型，只研究水的运动，即凡是水流到的地方，空气自然被排走。实际上，岩石空隙是既存在空气也存在水的二相系统，也必然是更复杂的模型，这里就不介绍了，请读者参考有关的专著。
（7-16）
由于水分持征曲线各处的斜率不同，C不是常数．而是随含水率而变的变数，即C＝C()。令：
参数D()是渗透系数和容水度的比值，称为扩散系数，量纲为[L2T-1]。它是一个重要的参数。引入D()以后，(6-16)式变为：
（6-18）
这是二阶的非线性偏微分方程。对于一维的垂直流动，可简化为：
（6-19）
(6-5)
故非和带孔隙中的水处于小于大气压强的情况下。正如在毛细管现象中见到的一样，在周围水面以上的毛管内的压强是负的。
和饱和带的情况一样，可以定义非饱和带水流中任何点的水头(毛管水头)：
（6-6）
式中，为水的容重；
(6-7)
称为毛管压力水头。某些作者用符号 表示压力水头的负值，即：
(6-8)
(6-9)
图6-4非饱和砂的相对渗透率与饱和度的关系
(据Wyckoff和Botset, 1936)
2．基本微分方程
在第一章中，我们已经得到了渗流的连续性方程(1-65)式。对于非饱和流动，把等式右端的空隙度n换成含水率 ，方程仍然是适用的。在非饱和带中，一般不考虑介质的变形，即单元体体积xyz不随时间而变化。于是可以约去等式两端的xyzt；同时，在非饱和流动中，水的密度变化很小，可当作常数。于是，相应的连续性方程为：
(6-14)
将运动方程(6-12)式代入(6-14)式中，得：
(6-15)
式(6-15)即为非饱和流的基本微分方程，称为Richards方程。
上述方程中，既含有含水率，又含有水头H，为解决问题方便起见，可以把基本微分方程化成以下几种表达形式。
(1)以含水率为因变量的表达式：前已述及，非饱和带的水头H＝z-hc，又由水分特征曲线、毛管压力水头hc和含水率之间存在着函数关系，因此(6-15)式可改写为：
地下水运动中计算
地下水运动中计算
地下水运动中的专门问题
§6.l非饱和带的地下水运动
在地下水面以上的非饱和带（即包气带）也有水的运动。在许多情况下，研究非饱和带的地下水运动具有很大的意义。例如，在地下水资源评价中，必须研究“三水”(即大气水、地表水相地下水)的相互转化，而非饱和带的地下水运动是其转化的重要环节。入渗的水必须经过非饱和带才能到达潜水面，故研究水在非饱和带的运动，对于入渗的计算很重要。其次，各种施加在地表的污染物将随入渗的水一起运动，经过非饱和带进入地下水中。因此研究地下水污染时，也必须研究非饱和带中水的运动。
6.1.2非饱和带水运动的基本方程
1.运动方程
1931年，Richards提出，Darcy定律可引伸应用于非饱和带水的运动。但此时的渗透率k和渗透系数K不再是常数，而与土壤的含水率有关。当含水率(或饱和度)减小时，一部分空隙为空气充填，因而过水断面减小，渗流途径的弯曲程度增加，导致渗透率或渗透系数减小。因此，该情况下k和K可记作含水率 或饱和度Sw的函数k( )，K( )或k(Sw)，K(Sw)。这样，非饱和带中的Darcy定律表达式为：
对于饱和—非饱和流动，可以写出统一的水头表达式；
(6-10)
式中，压强少可正可负。在饱和带中，p为水的压强，取正值；在非饱和带，p为毛管压强的负数，取负值。其余符号同前。
图6-1非饱和带的含水量曲线
图6-2土壤水分特征曲线
（据Richards和Weaner）
3．土壤水分特征曲线
反映毛管压强pc或毛管压力水头hc和土壤含水率 或饱和度Sw关系的曲线，称为水分特征曲线(图6-2)。它表示非饱和带中水分的能量和数量之间的关系，反映了包气带中水的基本特征。从曲线上还可以看出，即使在相当高的压强下，土样中仍保持一定的水，含水率不再进一步减小。这个含水率记作 ，相应的饱和度为：
4．非饱和流动中的给水度概念
已经介绍过给水度的概念。给水度是单位体积含水层中所排出的重力水的体积。但实际上，当潜水面下降时，其间的水并未全部排出，只是由饱和带的水变成非饱和带的水，水分分布曲线发生相应的改变。实际排出的水体积只相当于排水前后两条水分分布曲线间的那一部分面积。为此，需要这样来定义给水度：从地表一直延伸到含水层底板的一个单位水平面积垂直土柱，当潜水面降低一个单位时，由重力所排出的水的体积。由于重力排水的迟后，给水度也是时间t的函数。只有当长时间排水后才趋近于某一常数值。
2．毛管压力
当多孔介质空孔隙中有两种不相混溶的流体(如水和空气)接触时，这两种液体之间的压力存在着不连续性。此压力差的大小取决于该点界面的曲率(它又取决于饱和度)，这个压力差pc称为毛管压强：
(6-4)
式中， ——空气的压强， ——水的乐压强。如假设孔隙中的空气是在101325Pa(一个大气压)下、并取大气压强作为测量流休压强的基准，则 ＝0，于是：
不同土的水分特征曲线是不同的。在同样条件下，粘性土要比砂保持更多的水分，具有更高的含水率。土的颗粒级配，对持征曲线的形状也有影响，如图6-2的曲线I和II。温度的变化对它也有影响。温度升高时，表面张力降低，在同样吸力下含水率要低一些。
水分持征曲线斜率的负倒数称为容水度，记作C：
（6-11）
容水度不是常数，它随含水率或毛管压强而变化，记作C( )或C(hc)。它表示毛管压力水头变化一个单位时从单位体积土中释放出的水体积，是计算非饱和带水运动的重要参数。
(4)含水层骨架可以压缩，但其固体颗粒的压缩性忽略不计，看成是刚性的。