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高等数学同济第七版第四章学习指导

利用多项式的除法,总能把假分式化为一个多项式与真分式之和.
真分式 的分解:
①如果 为实系数多项式,则 总可以分解为若干实系数的一次因子与二次质因子的乘幂之积.即
(4-1)
其中 均为正整数,且
②如果 的分解式如(4-1)式,则有理真分式 可以唯一地分解为下述最简分式之和
其中 、 、 及 、 及 均为常数.
.
常用的三角代换:
①被积函数中含有根式 则令
②被积函数中含有根式 则令
③被积函数中含有根式 则令 .
(3)分部积分法
定理3设函数 , 具有连续导数,则有
.

或简写为
应用分部积分公式时,选取u和dv的原则:
①v要容易求得;
② 容易积出.
(4)几种特殊类型函数的积分
有理函数的积分我们称两个多项式的商,即 为有理函数,其中 和 均为多项式,且 和 不可约.当 的次数高于 的次数时, 是真分式,否则 是假分式.
定义2在区间I上,函数 的带有任意常数项的原函数称为 (或 )在区间I上的不定积分,记作 .
即若 是 在区间I上的一个原函数,那么 就是 的不定积分,即
(C为任意常数).
根据不定积分的定义,可知下述关系:
或 ;
或 ;
(2).不定积分的性质
性质1设函数 及 的原函数存在,则
.
性质2设函数 的原函数存在,k为非零常数,则
;
.
熟练掌握这些常见的凑微分形式,是用第一换元积分法求不定积分的基础.
对于被积函数较复杂时,将被积表达式写成 ,对 或其主要部分 求导,若其导数为 的常数倍,则

其中 为常数.
计算 型积分时,可以通过恒等变形(加零劈项或分子分母同乘以 )化为已知类型的不定积分.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ例4.6 ().
分析本题为有理函数的不定积分,四种简单有理式之一 ,按固定解法做即可.
计算三角函数有理式的积分 ,一般有以下三种方式:
①令 ,
.
② 利用三角恒等式化简;
③特殊代换
若 ,可令 ;
若 ,可令 ;
若 ,可令 .
简单无理函数的积分
① ,
可令 ,其中N为 的最小公倍数.
② ,
可令 ,其中N为 的最小公倍数.
二、典型题精讲
题型1.利用概念或基本公式计算不定积分
【方法与技巧】
(1)熟练掌握原函数和不定积分的定义是解题的基础.概念题常见的类型有:
.
方法三将被积函数的分子分母同乘以 ,凑微分后再积分.
.
例4.9求不定积分 .
分析本题为三角函数有理式的积分,作三角恒等变形,再用公式求不定积分.
解方法一将被积函数三角恒等变形后再积分.
.
方法二将被积函数的分子分母同乘以 ,凑微分后再积分.
.
例4.10求不定积分 .
分析本题为简单无理函数的积分,作变量代换或凑微分后再积分.
① 已知函数的原函数,求函数关系式;
②已知函数的导数或导数的复合关系,求函数关系式;
③ 综合运用原函数与不定积分的概念求不定积分等.利用原函数及不定积分的概念解题时,常用下面关系式:
; ;
; .
(2)熟练掌握基本积分公式,利用恒等变形(如一项拆成多项,分解因子,分母有理化,三角变换等)后再求不定积分.
.
(3).基本积分公式
(k是常数),




















.
2.求不定积分的基本方法
(1)第一类换元法
定理1设 具有原函数, 可导,则有换元公式
.
常用的几种配元形式:
① ,
② ,
③ ,
④ ,
⑤ ,
⑥ ,
⑦ ,
⑧ .
(2)第二类换元法
定理2设 是单调的可导函数,且 .又设
具有原函数,则有换元公式

.
题型3.利用第二类换元法计算不定积分
【方法与技巧】
第二类换元积分的基本思想是:通过变量代换消去被积函数中的根式或把比较难计算的不定积分化为容易求的不定积分.常见的变换有下面几种形式:
(1)被积函数中含有 时,令 ;
(2)被积函数中含有 时,令 ;
(3)被积函数中含有 时,令
(4)对于被积函数中含有 形式时,可考虑作变量代换 .例 型积分,一般通过变量代换 可以化为已知类型的不定积分.
第四章不定积分
一、知识点梳理
1.不定积分的概念与性质
(1)原函数与不定积分的概念
定义1如果在区间I上,可导函数 的导函数为 ,即对任一 ,都有
或 ,
那么函数 就称为 (或 )在区间I上的一个原函数.
原函数存在定理如果函数 在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数 ,使对任一 都有 .
即,连续函数一定有原函数.
例4.1若 的导函数为 ,则 的一个原函数为().
; ; ; .
分析由原函数的定义,先确定 ,再求 的一个原函数.或直接对每个选项求二阶导数来判定.
解 取 于是 .
令 ,则得 的一个原函数 ,故应选(B).
例4.2设 是连续函数, 是 的原函数,则下列结论正确的是( ).
(A)当 是奇函数时, 必是偶函数;
解原式
.
所以答案应为: .
例4.7求 .
分析本题为简单无理函数的积分,将被积函数恒等变形,再用公式 求不定积分.
解方法一
.
方法二
.
注意由此例可见,不定积分的结果的表达形式是不唯一的.
例4.8求 .
分析本题为 形式.
解方法一加零劈项,凑微分后再积分.
.
方法二将被积函数的分子分母同乘以 ,恒等变形后再积分.
求有理函数的不定积分,可归结为求多项式与以下面四种简单有理式的不定积分
① ;
② ;
③ ;
④ 为大于1的正整数, .
三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指由三角函数以及常数经过有限次的四则运算所构成的函数。由于 , , , 都可以用 和 表示,所以,一切三角函数有理式都可以表示为关于 和 的有理式,记作 .
(B)当 是偶函数时, 必是奇函数;
(C)当 是周期函数时, 必是周期函数;
(D)当 是单增函数时, 必是单增函数.
解可用排除法.
(B) 是偶函数,但原函数 不是奇函数;
(C) 是周期函数,但原函数 不是周期函数;
(D) 是单增函数,但原函数 不是单增函数.
所以应选(A).
例4.3已知 ,且 ,则 .
分析先作变量代换,确定 后再由不定积分求 .
解令 ,则 .所以
,
由 ,得 ,
故 .
例4.4求 .
分析拆项凑微分,把被积函数化为 的代数和的形式,再按公式积分.

.
例4.5求 .
分析本题为三角函数有理式的积分,作三角恒等变形,再用公式求不定积分.

.
题型2.利用第一类换元法计算不定积分
【方法与技巧】
第一换元积分法也叫凑微分法.其基本思想就是通过凑微分,把不定积分化为能利用基本积分公式的形式.常用凑微分的形式(除去前面的八种形式外)还有:
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