集合与函数板块公式
1.集合的运算:
(1)交集:A x x B A ∈=|{ 且}B x ∈,即集合B A ,的所有公共元素构成的集合. (2)并集:A x x B A ∈=|{ 或}B x ∈,即集合B A ,的所有元素构成的集合. (3)补集:∁U ∈=x x A |{U 且}A x ∉,即除A 中元素需补充的所有元素的集合. 2.集合中的关系:
(1)元素与集合的关系:属于或不属于关系.(∈或∉)
(2)集合与集合关系:A 是B 的子集记为B A ⊆.(开口朝范围大的集合) (3)含有n 个元素的子集有n
2个,真子集有12-n
个,非空真子集有22-n
个. 3.集合表示法:列举法、描述法、区间法、特殊字母(Venn 图象法、数轴表示) 4.常用函数定义域的求法(结果用集合的表示方法表示) (1))(x f y =,0)(≥x f (2))(log x f y a =,0)(>x f
(3))()(x g x f y =
,0)(≠x g (4))(tan x f y =,∈+≠k k x f (,2
)(π
π)Z 5.函数的单调性 (1)定义法:
①增函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f < ②减函数:任意D x x ∈21,且21x x <,都有)()(21x f x f > (2)定义法变形: ①)(x f 增函数⇔
0)]()()[(0)
()(2121212
1>--⇔>--x f x f x x x f x f x x
②)(x f 减函数⇔
0)]()()[(0)
()(2121212
1<--⇔<--x f x f x x x f x f x x (3)图象法: ①增函数图象上升; ②减函数图象下降 (4)导数法:
①增函数(增区间):令0)('>x f 解得x 的范围为增区间 ②减函数(减区间):令0)('<x f 解得x 的范围为减区间 6.函数的奇偶性(定义域对称) (1)定义法:
①奇函数:)()(x f x f -=- ②偶函数:)()(x f x f =-
(2)图像法:①奇函数图象关于原点对称; ②图像法图象关于y 轴对称 (3)奇偶函数求参数:赋值法
①奇函数:)1()1(;0)0(f f f -=-= ②偶函数:)1()1(f f =- 7.函数的周期性
(1)定义法:x ∀,都有)()(x f T x f =+,则T 为函数)(x f 的周期. (2)定义的变形:
①)()(x f a x f -=+,周期a T 2=;②)
(1
)(x f a x f ±=+,周期a T 2=. (2)图象法:图象重复出现,重复的区间长度为周期T . (3)具体函数的周期:
①B x A x f ++=)sin()(ϕω,ωπ
2=
T ;
②B x A x f ++=)cos()(ϕω,ωπ
2=
T ; ③B x A x f ++=)tan()(ϕω,ω
π
=T .
8.基本初等函数:一次函数 (1)解析式:)0(,)(≠+=a b ax x f .
(2)图象:一条斜线(两点定线:可以作与x 的交点和与y 的交点) (3)单调性: ①0>a 为增函数; ②0<a 为减函数.
(4)奇偶性: ①当0=b 时,为奇函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. 9.基本初等函数:二次函数
(1)解析式:)0(,)(2
≠++=a c bx ax x f (2)顶点式:(用配凑法配方) (3)图象:(抛物线)
①作对称轴:a
b
x 2-=; ②作顶点:将对称轴代入解析式得顶点y 坐标;
③作与y 轴交点:令0=x 解得;④判断开口方向:0>a 开口向上;0<a 开口向下;⑤若x 轴相交,作与x 轴交点:令0=y 解方程. (4)一元二次方程的求解方法:
①因式分解法:(十字相乘法,提公因式法); ②公式法: a
ac
b b x 242
-±-=.
(5)一元二次不等式(标准型:0>a )的解法:
①有两个实数根:大于取两边,小于取中间; ②没有两个实数根:作图观察. (6)二次函数的单调性:在对称轴两侧单调性相反.
(7)二次函数奇偶性: ①当0=b 时,为偶函数; ②当0≠b 时,为非奇非偶的函数. (8)韦达定理(根与系数的关系):方程02
=++c bx ax 有两根21,x x ,则
a
c
x x a b x x =⋅-=+2121,
10.基本初等函数:指数函数与对数函数 (1)指数幂:n n
a
a
1=
-; n m n
m a a =; n
m
n
m
a
a
1
=
-
(2)指数幂的运算法则
n
m n m a
a a +=⋅; n m n m a a a -=; mn n m a a =)(; n n n
b a ab =)(; n n n b
a b a =)(
(3)指数与对数的转换: N a b
= ⇔ N b a log = (4)对数恒等式:01log =a ; 1log =a a ; n a n a =log ; N a N
a =log
(5)对数的运算法则:
①N M N M a a a log log )(log +=⋅;②N M N
M
a a a log log log -= ③M n M a n a log log = (6)换底公式:①a N N
b b a log log log =; ②1log log =⋅a b b a ;③b b a
a 1
log log 1=
11.函数与方程
(1)函数的零点(方程的根):使得函数)(x f 等于0对应的x 的值,即为相应方程的
根,也为函数图象与x 轴交点的x 坐标.
(2)零点存在定理:若函数连续函数)(x f 在区间),(b a 上满足0)()(<⋅b f a f (即
)(),(b f a f 一个在x 轴上方,一个在x 轴下方),则函数)(x f 在区间),(b a 上一定
存在零点.(但是不能确定零点的个数) (3)零点个数(方程的根的个数)问题:
①函数)(x f 为基本初等函数:画出函数)(x f 图象,图象与x 轴交点的个数即为
零点的个数.②函数y 为两个基本初等函数加减得到,即)()(x g x f y ±=:令
0=y ,将其变形为)()(x g x f =,在一个坐标系下画出)(x f y =图象与)(x g y =图象,两图象的交点个数即为y 的零点的个数.。