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北航离散数学第11章习题答案

第11章习题答案
3. 对图11.3的有向图,找出从u 1到u 4的长度为2,3,4的所有通路,并找出顶点u 4上的长
度为2,3,4的所有回路。

用M 2,M 3,,M 4
,来验证这些结果。

解:从u 1到u 4长度为2的通路有1条:(u 1,u 2,u 4)
从u 1到u 4长度为3的通路有2条:(u 1,u 2,u 3,u 4),(u 1,u 4,u 2,u 4) 从u 1到u 4长度为4的通路有3条:(u 1,u 2,u 3,u 2,u 4),(u 1,u 2,u 4,u 2,u 4),(u 1,u 4,u 2,
u 3,u 4)
顶点u 4上的长度为2的回路有1条:(u 4,u 2,u 4) 顶点u 4上的长度为3的回路有1条:(u 4,u 2,u 3,u 4) 顶点u 4上的长度为4的回路有2条:(u 4,u 2,u 3,u 2,u 4),(u 4,u 2,u 4,u 2,u 4)
M =⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0010
101011001010 M 2=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡11
00111010201110
M 3
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10
20
212022102120
M 4
=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡221
323031403230
由M 2
,M 3
,,M 4
中的第1行第4列的元素可见,从u 1到u 4长度为2,3,4的通路分别有1
条,2条,3条。

由M 2,M 3,,M 4
中的第4行第4列的元素可见,u 4上的长度为2,3,4的回路分别有1条,1条,2条,说明所找的上述通路和回路正确。

5. 设有向图D 具有顶点集合{u 1,u 2,…,u n },M 是D 的邻接矩阵。

证明对于i ≠j 和k=1,2,…,
n-1,如果M k
(k=1,2,…,n-1)中第i 行第j 列上的元素均为0,则u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。

证明:假设u i 和u j 属于D 的同一个强分图,则u i 和u j 互相可达。

由定理9.2可知,从一顶点到另一顶点可达,则有基本通路,因此存在u i 到u j 的基本通路。

已知有向图D 中有n 个顶点,根据定理9.4:n 个顶点的有向图中,任何基本通路的长度都不超过n-1。

因此存在
u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路。

然而,根据定理11.1和已知条件:M k
(k=1,2,…,n-1)中第i 行第j 列上的元素均为0,说明从u i 到u j 不存在长度小于或等于n-1的通路。

这与前面所述存在u i 到u j 的长度不超过n-1的基本通路矛盾,因此u i 和u j 必定属于D 的不同的强分图。

6. 试用图11.4的有向图的邻接矩阵求出可达性矩阵,并利用可达性矩阵求其强分图。

解:
M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001010000000010100000010 M 2
=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡010*******
00010
1000001000
M 3
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000
010*******
0001010000 M 4
=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡0001001000
10000
010*******
I+M+M 2+M 3+M 4
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡10000
010*******
0001000001
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡0001
01000
00000
1010000001
0+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡0100
00001
00001
010*******
0+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000
01000010000001010000 +⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡000100100010000
010******* =
⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21020
13010111110202011021
R=B (I+M+M 2+M 3+M 4
)=⎥⎥⎥

⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡11010
1101011111
1101011011
R T =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡1111111111001001111100101 R ×R T =⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1101011010001001101000001 由矩阵R ×R T 可知,该有向图的强分图有:{v 1},{ v 2,v 4,v 5},{ v 3}。

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