2020年山东省德州市中考数学试卷一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.1.(4分)|﹣2020|的结果是()A.12020B.2020C.−12020D.﹣20202.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A.B.C.D.3.(4分)下列运算正确的是()A.6a﹣5a=1B.a2•a3=a5C.(﹣2a)2=﹣4a2D.a6÷a2=a34.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是()A.主视图B.主视图和左视图C.主视图和俯视图D.左视图和俯视图5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为()A.4B.5C.6D.76.(4分)如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为()A.80米B.96米C.64米D.48米7.(4分)函数y=kx和y=﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A.B.C.D.8.(4分)下列命题:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形;④对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.49.(4分)若关于x的不等式组{2−x2>2x−43−3x>−2x−a的解集是x<2,则a的取值范围是()A.a≥2B.a<﹣2C.a>2D.a≤210.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为()A.24√3−4πB.12√3+4πC.24√3+8πD.24√3+4π11.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是()A.若(﹣2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为()A.148B.152C.174D.202二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分.13.(4分)√27−√3=.14.(4分)若一个圆锥的底面半径是2cm,母线长是6cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是度.15.(4分)在平面直角坐标系中,点A的坐标是(﹣2,1),以原点O为位似中心,把线段OA 放大为原来的2倍,点A 的对应点为A ′.若点A '恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为 .16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x 2﹣9x +20=0的一个根,则该菱形的周长为 .17.(4分)如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是 .18.(4分)如图,在矩形ABCD 中,AB =√3+2,AD =√3.把AD 沿AE 折叠,使点D 恰好落在AB 边上的D ′处,再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α,得到△A 'ED ″,使得EA ′恰好经过BD ′的中点F .A ′D ″交AB 于点G ,连接AA ′.有如下结论:①A ′F 的长度是√6−2;②弧D 'D ″的长度是5√312π;③△A ′AF ≌△A ′EG ;④△AA ′F ∽△EGF .上述结论中,所有正确的序号是 .三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(8分)先化简:(x−1x−2−x+2x)÷4−xx 2−4x+4,然后选择一个合适的x 值代入求值.20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:(1)本次比赛参赛选手共有人,扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为;(2)补全图2频数直方图;(3)赛前规定,成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.21.(10分)如图,无人机在离地面60米的C处,观测楼房顶部B的俯角为30°,观测楼房底部A的俯角为60°,求楼房的高度.22.(12分)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D是半圆AB的中点,连接AC,BC,AD,BD.过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H.(1)求证:直线DH是⊙O的切线;(2)若AB=10,BC=6,求AD,BH的长.23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支A 型画笔,第二次超市推荐了B 型画笔,但B 型画笔比A 型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的B 型画笔.(1)超市B 型画笔单价多少元?(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用B 型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支B 型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的B 型画笔x 支,购买费用为y 元,请写出y 关于x 的函数关系式.(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买B 型画笔,则能购买多少支B 型画笔?24.(12分)问题探究:小红遇到这样一个问题:如图1,△ABC 中,AB =6,AC =4,AD 是中线,求AD 的取值范围.她的做法是:延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ,证明△BED ≌△CAD ,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是: ; (2)AD 的取值范围是 ; 方法运用:(3)如图2,AD 是△ABC 的中线,在AD 上取一点F ,连结BF 并延长交AC 于点E ,使AE =EF ,求证:BF =AC . (4)如图3,在矩形ABCD 中,AB BC=12,在BD 上取一点F ,以BF 为斜边作Rt △BEF ,且EF BE=12,点G 是DF 的中点,连接EG ,CG ,求证:EG =CG .25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(0,﹣2),在x 轴上任取一点M ,连接AM ,分别以点A 和点M 为圆心,大于12AM 的长为半径作弧,两弧相交于G ,H 两点,作直线GH ,过点M 作x 轴的垂线l 交直线GH 于点P .根据以上操作,完成下列问题. 探究:(1)线段P A 与PM 的数量关系为 ,其理由为: .(2)在x 轴上多次改变点M 的位置,按上述作图方法得到相应点P 的坐标,并完成下列表格: M 的坐标 … (﹣2,0) (0,0) (2,0) (4,0)… P 的坐标 …(0,﹣1) (2,﹣2)…猜想:(3)请根据上述表格中P 点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线L ,猜想曲线L 的形状是 . 验证:(4)设点P 的坐标是(x ,y ),根据图1中线段P A 与PM 的关系,求出y 关于x 的函数解析式. 应用:(5)如图3,点B (﹣1,√3),C (1,√3),点D 为曲线L 上任意一点,且∠BDC <30°,求点D 的纵坐标y D 的取值范围.2020年山东省德州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来.每小题选对得4分,选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.1.(4分)|﹣2020|的结果是()A.12020B.2020C.−12020D.﹣2020【解答】解:|﹣2020|=2020;故选:B.2.(4分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A.B.C.D.【解答】解:A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故此选项不合题意;B、是中心对称图形但不是轴对称图形.故此选项符合题意;C、既是轴对称图形,又是中心对称图形.故此选项不合题意;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故此选项不合题意.故选:B.3.(4分)下列运算正确的是()A.6a﹣5a=1B.a2•a3=a5C.(﹣2a)2=﹣4a2D.a6÷a2=a3【解答】解:6a﹣5a=a,因此选项A不符合题意;a2•a3=a5,因此选项B符合题意;(﹣2a)2=4a2,因此选项C不符合题意;a6÷a2=a6﹣2=a4,因此选项D不符合题意;故选:B.4.(4分)如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形.若由图1变化至图2,则三视图中没有发生变化的是()A.主视图B.主视图和左视图C.主视图和俯视图D.左视图和俯视图【解答】解:图1主视图第一层三个正方形,第二层左边一个正方形;图2主视图第一层三个正方形,第二层右边一个正方形;故主视图发生变化;左视图都是第一层两个正方形,第二层左边一个正方形,故左视图不变;俯视图都是底层左边是一个正方形,上层是三个正方形,故俯视图不变.∴不改变的是左视图和俯视图.故选:D.5.(4分)为提升学生的自理和自立能力,李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况,调查结果如下表:一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为()A.4B.5C.6D.7【解答】解:x=4×7+5×6+6×12+7×10+8×57+6+12+10+5=6(次),故选:C.6.(4分)如图,小明从A点出发,沿直线前进8米后向左转45°,再沿直线前进8米,又向左转45°…照这样走下去,他第一次回到出发点A时,共走路程为()A.80米B.96米C.64米D.48米【解答】解:根据题意可知,他需要转360÷45=8次才会回到原点,所以一共走了8×8=64(米).故选:C.7.(4分)函数y=kx和y=﹣kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A.B.C.D.【解答】解:在函数y=kx和y=﹣kx+2(k≠0)中,当k>0时,函数y=kx的图象在第一、三象限,函数y=﹣kx+2的图象在第一、二、四象限,故选项A、B错误,选项D正确,当k<0时,函数y=kx的图象在第二、四象限,函数y=﹣kx+2的图象在第一、二、三象限,故选项C错误,故选:D.8.(4分)下列命题:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形;③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形;④对角线相等的平行四边形是矩形.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解答】解:①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题;②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,是真命题;③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形,原命题是假命题;④对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题;故选:B.9.(4分)若关于x 的不等式组{2−x 2>2x−43−3x >−2x −a的解集是x <2,则a 的取值范围是( ) A .a ≥2 B .a <﹣2C .a >2D .a ≤2【解答】解:解不等式组{2−x 2>2x−43①−3x >−2x −a②,由①可得:x <2, 由②可得:x <a ,因为关于x 的不等式组{2−x 2>2x−43−3x >−2x −a的解集是x <2,所以,a ≥2, 故选:A .10.(4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为( )A .24√3−4πB .12√3+4πC .24√3+8πD .24√3+4π【解答】解:设正六边形的中心为O ,连接OA ,OB .由题意,OA =OB =AB =4,∴S 弓形AmB =S 扇形OAB ﹣S △AOB =60⋅π⋅42360−√34×42=83π﹣4√3,∴S 阴=6•(S 半圆﹣S 弓形AmB )=6•(12•π•22−83π+4√3)=24√3−4π,故选:A.11.(4分)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是()A.若(﹣2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=1,a<0,∴点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点为(3,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3,0),点(﹣2,y1)与(4,y1)是对称点,∵当x>1时,函数y随x增大而减小,故A选项不符合题意;把点(﹣1,0),(3,0)代入y=ax2+bx+c得:a﹣b+c=0①,9a+3b+c=0②,①×3+②得:12a+4c=0,∴3a+c=0,故B选项不符合题意;当y=﹣2时,y=ax2+bx+c=﹣2,由图象得:纵坐标为﹣2的点有2个,∴方程ax2+bx+c=﹣2有两个不相等的实数根,故C选项不符合题意;∵二次函数图象的对称轴为x=1,a<0,∴当x≤1时,y随x的增大而增大;当x≥1时,y随x的增大而减小;故D选项符合题意;故选:D.12.(4分)如图是用黑色棋子摆成的美丽图案,按照这样的规律摆下去,第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为( )A .148B .152C .174D .202【解答】解:根据图形,第1个图案有12枚棋子, 第2个图案有22枚棋子, 第3个图案有34枚棋子, …第n 个图案有2(1+2+…+n +2)+2(n ﹣1)=n 2+7n +4枚棋子,故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174(枚). 故选:C .二、填空题:本大题共6小题,共24分,只要求填写最后结果,每小题填对得4分. 13.(4分)√27−√3= 2√3 . 【解答】解:原式=3√3−√3=2√3. 故答案为:2√3.14.(4分)若一个圆锥的底面半径是2cm ,母线长是6cm ,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 120 度.【解答】解:圆锥侧面展开图的弧长是:2π×2=4π(cm ), 设圆心角的度数是n 度.则nπ×6180=4π,解得:n =120. 故答案为:120.15.(4分)在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(﹣2,1),以原点O 为位似中心,把线段OA 放大为原来的2倍,点A 的对应点为A ′.若点A '恰在某一反比例函数图象上,则该反比例函数解析式为 y =−8x .【解答】解:∵点A 的坐标是(﹣2,1),以原点O 为位似中心,把线段OA 放大为原来的2倍,点A的对应点为A′,∴A′坐标为:(﹣4,2)或(4,﹣2),∵A'恰在某一反比例函数图象上,∴该反比例函数解析式为:y=−8 x.故答案为:y=−8 x.16.(4分)菱形的一条对角线长为8,其边长是方程x2﹣9x+20=0的一个根,则该菱形的周长为20.【解答】解:如图所示:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵x2﹣9x+20=0,因式分解得:(x﹣4)(x﹣5)=0,解得:x=4或x=5,分两种情况:①当AB=AD=4时,4+4=8,不能构成三角形;②当AB=AD=5时,5+5>8,∴菱形ABCD的周长=4AB=20.故答案为:20.17.(4分)如图,在4×4的正方形网格中,有4个小正方形已经涂黑,若再涂黑任意1个白色的小正方形(每个白色小正方形被涂黑的可能性相同),使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是16.【解答】解:如图所示:当分别将1,2位置涂黑,构成的黑色部分图形是轴对称图形, 故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是:212=16.故答案为:16.18.(4分)如图,在矩形ABCD 中,AB =√3+2,AD =√3.把AD 沿AE 折叠,使点D 恰好落在AB 边上的D ′处,再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α,得到△A 'ED ″,使得EA ′恰好经过BD ′的中点F .A ′D ″交AB 于点G ,连接AA ′.有如下结论:①A ′F 的长度是√6−2;②弧D 'D ″的长度是5√312π;③△A ′AF ≌△A ′EG ;④△AA ′F ∽△EGF .上述结论中,所有正确的序号是 ①②④ .【解答】解:∵把AD 沿AE 折叠,使点D 恰好落在AB 边上的D ′处, ∴∠D =∠AD 'E =90°=∠DAD ',AD =AD ', ∴四边形ADED '是矩形, 又∵AD =AD '=√3, ∴四边形ADED '是正方形,∴AD =AD '=D 'E =DE =√3,AE =√2AD =√6,∠EAD '=∠AED '=45°, ∴D 'B =AB ﹣AD '=2, ∵点F 是BD '中点, ∴D 'F =1, ∴EF =√D′E2+D′F2=√3+1=2,∵将△AED ′绕点E 顺时针旋转α,∴AE =A 'E =√6,∠D 'ED ''=α,∠EA 'D ''=∠EAD '=45°, ∴A 'F =√6−2,故①正确; ∵tan ∠FED '=D′F D′E =3=√33, ∴∠FED '=30°∴α=30°+45°=75°, ∴弧D 'D ″的长度=75°×π×√3180°=5√312π,故②正确; ∵AE =A 'E ,∠AEA '=75°, ∴∠EAA '=∠EA 'A =52.5°, ∴∠A 'AF =7.5°,∵∠AA 'F ≠∠EA 'G ,∠AA 'E ≠∠EA 'G ,∠AF A '=120°≠∠EA 'G , ∴△AA 'F 与△A 'GE 不全等,故③错误; ∵D 'E =D ''E ,EG =EG , ∴Rt △ED 'G ≌Rt △ED ''G (HL ), ∴∠D 'GE =∠D ''GE ,∵∠AGD ''=∠A 'AG +∠AA 'G =105°, ∴∠D 'GE =52.5°=∠AA 'F , 又∵∠AF A '=∠EFG ,∴△AF A '∽△EFG ,故④正确, 故答案为:①②④.三、解答题:本大题共7小题,共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.(8分)先化简:(x−1x−2−x+2x)÷4−xx 2−4x+4,然后选择一个合适的x 值代入求值.【解答】解:(x−1x−2−x+2x )÷4−xx 2−4x+4=[x(x−1)x(x−2)−(x−2)(x+2)x(x−2)]×(x−2)24−x =4−x x(x−2)⋅(x−2)24−x=x−2x , 把x =1代入x−2x=1−2x=−1.20.(10分)某校“校园主持人大赛”结束后,将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下:(1)本次比赛参赛选手共有 50 人,扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为 36% ; (2)补全图2频数直方图;(3)赛前规定,成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分,试判断他能否获奖,并说明理由;(4)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人,试求恰好选中1男1女为主持人的概率.【解答】解:(1)本次比赛参赛选手共有:(8+4)÷24%=50(人), “59.5~69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为2+350×100%=10%,∴79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%=36%; 故答案为:50,36%;(2)∵“69.5~79.5”这一范围的人数为50×30%=15(人), ∴“69.5~74.5”这一范围的人数为15﹣8=7(人), ∵“79.5~89.5”这一范围的人数为50×36%=18(人), ∴“79.5~84.5”这一范围的人数为18﹣8=10(人); 补全图2频数直方图:(3)能获奖.理由如下:∵本次比赛参赛选手50人,∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20(人),又∵88>84.5,∴能获奖;(4)画树状图为:共有12种等可能的结果数,其中恰好选中1男1女的结果数为8,所以恰好选中1男1女的概率=812=23.21.(10分)如图,无人机在离地面60米的C处,观测楼房顶部B的俯角为30°,观测楼房底部A的俯角为60°,求楼房的高度.【解答】解:过B作BE⊥CD交CD于E,由题意得,∠CBE=30°,∠CAD=60°,在Rt△ACD中,tan∠CAD=tan60°=CDAD=√3,∴AD=3=20√3,∴BE=AD=20√3,在Rt△BCE中,tan∠CBE=tan30°=CEBE=√33,∴CE=20√3×√33=20,∴ED=CD﹣CE=60﹣20=40,∴AB=ED=40(米),答:楼房的高度为40米.22.(12分)如图,点C在以AB为直径的⊙O上,点D是半圆AB的中点,连接AC,BC,AD,BD.过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H.(1)求证:直线DH是⊙O的切线;(2)若AB=10,BC=6,求AD,BH的长.【解答】(1)证明:连接OD,∵AB为⊙O的直径,点D是半圆AB的中点,∴∠AOD=12∠AOB=90°,∵DH∥AB,∴∠ODH=90°,∴OD⊥DH,∴直线DH是⊙O的切线;(2)解:连接CD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵点D是半圆AB的中点,∴AD̂=DB̂,∴AD=DB,∴△ABD是等腰直角三角形,∵AB=10,∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×√22=5√2,∵AB=10,BC=6,∴AC=√102−62=8,∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠CAD+∠CBD=180°,∵∠DBH+∠CBD=180°,∴∠CAD=∠DBH,由(1)知∠AOD=90°,∠OBD=45°,∴∠ACD=45°,∵DH∥AB,∴∠BDH=∠OBD=45°,∴∠ACD=∠BDH,∴△ACD∽△BDH,∴ACBD =ADBH,∴5√2=5√2BH,解得:BH=25 4.23.(12分)小刚去超市购买画笔,第一次花60元买了若干支A型画笔,第二次超市推荐了B型画笔,但B型画笔比A型画笔的单价贵2元,他又花100元买了相同支数的B型画笔.(1)超市B型画笔单价多少元?(2)小刚使用两种画笔后,决定以后使用B型画笔,但感觉其价格稍贵,和超市沟通后,超市给出以下优惠方案:一次购买不超过20支,则每支B型画笔打九折;若一次购买超过20支,则前20支打九折,超过的部分打八折.设小刚购买的B型画笔x支,购买费用为y元,请写出y关于x的函数关系式.(3)在(2)的优惠方案下,若小刚计划用270元购买B型画笔,则能购买多少支B型画笔?【解答】解:(1)设超市B型画笔单价为a元,则A型画笔单价为(a﹣2)元.根据题意得,60a−2=100a,解得a=5.经检验,a=5是原方程的解.答:超市B型画笔单价为5元;(2)由题意知,当小刚购买的B型画笔支数x≤20时,费用为y=0.9×5x=4.5x,当小刚购买的B型画笔支数x>20时,费用为y=0.9×5×20+0.8×5(x﹣20)=4x+10.所以,y关于x的函数关系式为y={4.5x(1≤x≤20)4x+10(x>20)(其中x是正整数);(3)当4.5x=270时,解得x=60,∵60>20,∴x=60不合题意,舍去;当4x +10=270时,解得x =65,符合题意.答:若小刚计划用270元购买B 型画笔,则能购买65支B 型画笔. 24.(12分)问题探究:小红遇到这样一个问题:如图1,△ABC 中,AB =6,AC =4,AD 是中线,求AD 的取值范围.她的做法是:延长AD 到E ,使DE =AD ,连接BE ,证明△BED ≌△CAD ,经过推理和计算使问题得到解决.请回答:(1)小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是: SAS ; (2)AD 的取值范围是 1<AD <5 ; 方法运用:(3)如图2,AD 是△ABC 的中线,在AD 上取一点F ,连结BF 并延长交AC 于点E ,使AE =EF ,求证:BF =AC . (4)如图3,在矩形ABCD 中,AB BC=12,在BD 上取一点F ,以BF 为斜边作Rt △BEF ,且EF BE=12,点G 是DF 的中点,连接EG ,CG ,求证:EG =CG .【解答】解:(1)∵AD 是中线, ∴BD =CD ,又∵∠ADC =∠BDE ,AD =DE , ∴△BED ≌△CAD (SAS ), 故答案为:SAS ; (2)∵△BED ≌△CAD , ∴AC =BE =4,在△ABE 中,AB ﹣BE <AE <AB +BE , ∴2<2AD <10, ∴1<AD <5, 故答案为:1<AD <5;(3)如图2,延长AD至H,使AD=DH,连接BH,∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD,又∵∠ADC=∠BDH,AD=DH,∴△ADC≌△HDB(SAS),∴AC=BH,∠CAD=∠H,∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE,∴∠H=∠BFH,∴BF=BH,∴AC=BF;(4)如图3,延长CG至N,使NG=CG,连接EN,CE,NF,∵点G是DF的中点,∴DG=GF,又∵∠NGF=∠DGC,CG=NG,∴△NGF≌△CGD(SAS),∴CD=NF,∠CDB=∠NFG,∵AB AD=AB BC=12,EFBE=12,∴tan ∠ADB =12,tan ∠EBF =12, ∴∠ADB =∠EBF , ∵AD ∥BC , ∴∠ADB =∠DBC , ∴∠EBF =∠DBC , ∴∠EBC =2∠DBC ,∵∠EBF +∠EFB =90°,∠DBC +∠BDC =90°,∴∠EFB =∠BDC =∠NFG ,∠EBF +∠EFB +∠DBC +∠BDC =180°, ∴2∠DBC +∠EFB +∠NFG =180°, 又∵∠NFG +∠BFE +∠EFN =180°, ∴∠EFN =2∠DBC , ∴∠EBC =∠EFN , ∵AB BC =CD BC =12=EF BE,且CD =NF ,∴BE BC=EF NF∴△BEC ∽△FEN , ∴∠BEC =∠FEN , ∴∠BEF =∠NEC =90°, 又∵CG =NG , ∴EG =12NC , ∴EG =GC .25.(14分)如图1,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(0,﹣2),在x 轴上任取一点M ,连接AM ,分别以点A 和点M 为圆心,大于12AM 的长为半径作弧,两弧相交于G ,H 两点,作直线GH ,过点M 作x 轴的垂线l 交直线GH 于点P .根据以上操作,完成下列问题. 探究:(1)线段P A 与PM 的数量关系为 P A =PM ,其理由为: 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 .(2)在x轴上多次改变点M的位置,按上述作图方法得到相应点P的坐标,并完成下列表格:M的坐标…(﹣2,0)(0,0)(2,0)(4,0)…P的坐标…(﹣2,﹣2)(0,﹣1)(2,﹣2)(4,﹣5)…猜想:(3)请根据上述表格中P点的坐标,把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来;观察画出的曲线L,猜想曲线L的形状是抛物线.验证:(4)设点P的坐标是(x,y),根据图1中线段P A与PM的关系,求出y关于x的函数解析式.应用:(5)如图3,点B(﹣1,√3),C(1,√3),点D为曲线L上任意一点,且∠BDC<30°,求点D的纵坐标y D的取值范围.【解答】解:(1)∵分别以点A和点M为圆心,大于12AM的长为半径作弧,两弧相交于G,H两点,∴GH是AM的垂直平分线,∵点P是GH上一点,∴P A=PM(线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等),故答案为:P A=PM,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等;(2)当点M(﹣2,0)时,设点P(﹣2,a),(a<0)∵P A=PM,∴﹣a=√(−2−0)2+(a+2)2,∴a=﹣2,∴点P(﹣2,﹣2),当点M(4,0)时,设点P(4,b),(b<0)∵P A=PM,∴﹣b=√(4−0)2+(b+2)2,∴b=﹣5,∴点P(4,﹣5),故答案为:(﹣2,﹣2),(4,﹣5);(3)依照题意,画出图象,猜想曲线L的形状为抛物线,故答案为:抛物线;(4)∵P A=PM,点P的坐标是(x,y),(y<0),∴﹣y=√(x−0)2+(y+2)2,∴y=−14x2﹣1;(5)∵点B(﹣1,√3),C(1,√3),∴BC=2,OB=√(−1−0)2+(√3−0)2=2,OC=√(1−0)2+(√3−0)2=2,∴BC=OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴∠BOC=60°,如图3,以O为圆心,OB为半径作圆O,交抛物线L与点E,连接BE,CE,∴∠BEC=30°,设点E(m,n),∵点E在抛物线上,∴n=−14m2﹣1,∵OE=OB=2,∴√(m−0)2+(n−0)2=2,∴n1=2﹣2√3,n2=2+2√3(舍去),如图3,可知当点D在点E下方时,∠BDC<30°,∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D<2﹣2√3.。