比较法：比较法是证明不等式的最基本、最 重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和 运算性质的直接应用,比较法可分为差值比 较法和商值比较法。
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： ab=[(a-1）+1][(b-1)+1] =(a-1)(b-1)+a-1+b-1+1 =(a-1)(b-1)-1+a+b ∵a≥2，b≥2 ∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1 即(a-1)(b-1)-1≥0 ∴(a-1)(b-1)-1+a+b≥a+b 即ab≥a+b 证毕
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发， 利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从 而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
放缩法：要证等式A<B成立，有时可以将 它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如 将A放大成C，即A<C，后证C<B。
7 Math Part 放缩法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： a、b之间的大小关系对该 命题没有影响 不妨设a≥b ∵b≥2 ∴ab≥2a 原不等式变形为
2a≥a+b 移项得 a≥b 由假设知该命题成立 所以原命题成立 证毕
8 Math Part
换元法
8 Math Part 换元法
换元法：解一些复杂的因式分解问题，常用 到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若 把其中某些部分看成一个整体，用新字母代 替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明 朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构 复杂程度等方面有独到作用 。
证明： ∵a≥2,b≥2 要证ab≥a+b 只需证1≥ 1 1
ab
∵a≥2,b≥2 ∴ 1 1 ,1 1
a 2b 2
∴1 1 1
ab
所以原命题成立
证毕
4 Math Part
反证法
3 Math Part 分析法
反证法：首先假设要证明的命题是错误的， 然后利用公理、已知的定义、定理，命题的 条件，得到和命题的条件或公理、定理、定 义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说 明假设的结论不成立，从而原结论成立。
3 Math Part
分析法
3 Math Part 分析法
分析法：从需要证明的命题出发，分析使这 个命题成立的充分条件，逐步寻找使这个命 题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件 显然成立，或由已知证明成立，从而确定所 证的命题成立的一种方法。
3 Math Part 分析法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
S4=(a-1)(b-1)
S=S1+S2+S4-S0
即有ab=a+b+S4-S0
即 ab-a-b=S4-S0
①
下证S4比S0不小
b
∵S0是长宽均为1的的正方形面积 而S4是长为a-1≥1,宽为b-1≥1的矩形面积 ∴S4≥S0 ∴①式成立 ∴原命题成立 证毕
7 Math Part
放缩法
7 Math Part 放缩法
等式、琴生不等式、伯努利不等式等等。
5 Math Part 公式法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： ∵a≥2，b≥2 ∴a-2≥0，b-2≥0 由伯努利不等式知 [(a-2)+1][(b-2)+1]≥1+(a-2)+(b-2) 即(a-1)(b-1)≥1+(a-2)+(b-2) 展开得
ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立 证毕
6 Math Part
构造法
6 Mபைடு நூலகம்th Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、 向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法 来说明构造法的使用。
不等式的证明方法之“八仙过海”
学校：庆云县第一中学 作者：王超
Math 方法
Method
1 比较法
2 综合法
3 分析法
4 反证法
5 公式法 6 构造法 7 放缩法 8 换元法
Math 例题
Example
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
1 Math Part
比较法
1 Math Part 比较法
6 Math Part 构造法
几何构造法
1
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
S4
证明：
a
如图所示，构造长度为a宽度为b的矩形，
S1
则矩形面积S=ab
在矩形内部以a为长,1为宽作小矩形以
黄色区域表示；和b为长1为宽作小矩形
S0
以绿色区域表示，则两个矩形的面积分
S2
1
别为S1=a,S2=b 重合部分面积记为S0=1 两个小矩形均未覆盖部分记为