《对数及对数函数》练习题讲解知识梳理：1、对数的定义：如果 a(a>0,a ≠1)的b 次幂等于N , 就是a b=N ，那么数 b 叫做 a 为底 N 的对数，记作log a N=b ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

（N > 0） 2、指数和对数的关系：N a b = b N a =log 3、对数恒等式：∴01log =a ， 1log =a a ，N a Na=log4、运算法则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-=+=R)(n log log N log M log N M log Nlog M log (MN)log a na a a aa a a Mn M5、换底公式：log log log c a c ab b=6、两个较为常用的推论：11log log =⋅a b b a 2 b mnb a na m log log =（ a , b > 0且均不为1）7、对数函数定义：函数 x y a log = )10(≠>a a 且叫做对数函数；它是指数函数xa y =)10(≠>a a 且的反函数。

a a>10<a<1图象定义域 值 域定 点 单调性例1、求下列各式中的x ．(1)21log 54-=x ； (2)235log =x ； (3)0)22(log 22=--+x x x ． 解：(1)2545)54(21===-x ． (2)523=x ，得332255==x ． (3)由对数性质得⎩⎨⎧≠+>+=--12,021222x x x x 解得3=x ．变式：计算： (1)9)4(log 2=x ； (2)1)78(log 2)1(=+--x x x ；（3）()()32log 32-+（解析 (1)34log ±=x ，得34=x 或341=x ． (2)由对数性质得8=x ． （3）令 =x ()()32log 32-+=()()13232log -+-, ∴()()13232-+=+x , ∴1-=x ） 例2：计算（1）计算：log 155log 1545+(log 153)2（2）1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+（3）22)2(lg 2051lg 8lg 325lg +++g 解：（1）解一：原式 = log 155(log 153+1)+(log 153)2=log 155+log 153(log 155+log 153) =log 155+log 153log 1515 =log 155+ log 153= log 1515 解二：原式 = 2151515)3(log )315(log 315log +⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1-log 153)(1+log 153)+(log 153)2 =1-(log 153)2+(log 153)2=1（2）＝2222128125lg()252lg(25)2lg104lg 10⨯⨯=-⨯=-=-- （3）原式2)2(lg )2lg 1)(2lg 1(2lg 25lg 2++-++=3)2(lg )2(lg 1)2lg 5(lg 222=+-++=变式：计算：（1）06.0lg 61lg)2(lg 8000lg 5lg 23+++⋅ （＝1） （2）421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log )2log 2)(log 3log 3(log 232-++=45)2log 212)(log 3log 313log 21(3322+++= 254545452log 233log 6532=+=+⋅=例3：已知a =9log 18，518=b，求45log 36．解：由a =9log 18可知2log 1218log 1818-==a ，又由518=b ，可得 5log 18=b ，故aba -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836变式：若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5解：∵ log 8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log 2-==⇒=p p p 又∵ q ==3lg 5lg 5log 3 ∴ )5lg 1(33lg 5lg -==pq q ∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq3135lg +=例4：比较下列各组数的大小：(1)99.0ln 与9.0ln (2)1.59.0=p ，9.01.5=m ，1.5log 9.0=n(3)若)(log log ,log ,log ,122x c x b x a d x d d d d ===<<．解：(1)由x y ln =在()+∞,0上单调递增，且9.099.00 <<，故99.0ln <9.0ln ． (2)01log 1.5log 9.09.0=<，而19.09.001.5=<，11.51.509.0=>，m p n <<∴(3)令u x d =log ，由d x <<1可知1log 0<<x d 即()1,0∈u ．则u c u b u a d log ,2,2===，()1,0∈u ，在同一坐标系下画出这三个函数的图象， 如图示：可知b 最大，c 最小，即b a c <<． 变式：比较下列各数大小：(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 214.36.0317.0log ,8.0log -⎪⎭⎫⎝⎛和(3) 1.0log 1.0log 2.03.0和解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=>∴3.0log 7.0log 4.03.0<(2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log 4.3< 13121>⎪⎭⎫⎝⎛-∴216.04.3318.0log 7.0log -⎪⎭⎫⎝⎛<<(3) 解： 03.0log 11.0log 1.03.0>=02.0log 11.0log 1.02.0>=∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 例5：求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--xy (2) )52(log 22++=x x y (3) )54(log 231++-=x x y (4) )(log 2x x y a --=解(1)：要使函数有意义，必须：041212≥---x 即：11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y (2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R 从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y(3)函数有意义，必须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必须： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x∴41log )(log 2aa x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a变式：求下列函数的定义域(1) )27(log )15(-=-x y x (2))23(log 5.0-=x y(3))1,0)(1(log ≠>-=a a a y xa解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧>-≠->-027115015x x x 得72>x 且52≠x ．所求定义域为⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,5252,72 ．(2)由0)23(log 5.0≥-x 得1230≤-<x ，解得132≤<x ，所求定义域为⎥⎦⎤ ⎝⎛1,32． (3)由01>-xa 得1>xa ，当1>a 时，0>x ，当10<<a 时，0<x ． 所求定义域为当1>a 时，()+∞∈,0x ；当10<<a 时，()0,∞-∈x ．例6：已知xxx f a-+=11log )( （1,0≠>a a ） (1)求f(x)的定义域 (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)＞0的x 的取值围． 解：（1）令,011>-+x x 得011<-+x x ， 即(x+1)(x-1)＜0，故f(x)的定义域为(-1，1)．又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．变式：求函数)183(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明。

解：定义域 3601832-<>⇒>--x x x x 或单调区间是),6(+∞ 设2121),6(,x x x x <+∞∈且 则)183(log 121211--=x x y )183(log 222212--=x x y---)183(121x x )183(222--x x =)3)((1212-+-x x x x ∵612>>x x ∴012>-x x 0312>-+x x ∴183222--x x 183121-->x x 又底数1210<< ∴012<-y y 12y y <∴y 在),6(+∞上是减函数。

【练习2】1．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）．解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=； （2）原式=2122lg10lg10555== 2、计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ； （3）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+．解：（1）解法一：18lg 7lg 37lg214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；解法二：18lg 7lg 37lg214lg -+-27lg14lg()lg 7lg183=-+-=18)37(714lg2⨯⨯lg10==；说明：本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起足够的重视。